《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第25讲 同构法解零点问题与恒成立问题（解析版）

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第25 讲 同构法解零点问题与恒成立问题
1．已知函数 ，若函数 在区间 内存在零点，求实数 的取值范
围
【解答】解：方法一：由 可得 ，
设 ， ， ，则 ，令 ， 在 单调递减，在
单调递增，
故 （1） ．
①当 时，令 ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
（1） ，此时 在区间 内无零点；
②当 时， （1） ，此时 在区间 内有零点；
③当 时，令 ，解得 或 1或 ，且 ，
此时 在 单减， ， 单增， 单减， ， 单增，
当 或 时， ，此时 在区间 内有两个零点；
综合①②③知 在区间 内有零点 ．
方法二：由题意可得
，即 ，
因为 当 时等号成立，
所以 ，即 ，
，令 ， ，
易知 在 单减，在 上单增，所以 （1） ，
又 趋近于 0和正无穷时， 趋近于正无穷，
所以 ．
2．已知函数 ，
（1）若 在 处取得极值，求 的值及函数的单调区间．
（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．如果多写按第一个计分．
①若 恒成立，求 的取值范围；
②若 仅有两个零点，求 的取值范围．
【解答】解：（1）函数 ，
则 的定义域为 ，
且 ，
因为 在 处取得极值，
所以 ，即 ，解得 ；
此时 ，
所以 在 上单调递增，
则当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）若选①：
因为 恒成立，则 恒成立，
整理可得 恒成立，
即 恒成立，
令 ，
则 恒成立，
因为 恒成立，
则 为单调递增函数，
所以 恒成立，即 恒成立，
令 ， ，
则 ，
当 时， ，则 单调递增，
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