《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第24讲 最值函数的零点问题（原卷版）

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第24 讲 最值函数的零点问题
1．已知函数 ， ．
（1）当 为何值时， 轴为曲线 的切线．
（2）设 在 ， 单调递增，求 的取值范围．
（3）用 ， 表示 ， 中的最小值，设函数 ， ，讨论
零点的个数．
2．已知函数 ， ．
（1）若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围；
（2）若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
（3）用 ， 表示 ， 中的最小值，设函数 ， ，讨论 零点的个数．
3．已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）用 ， 表示 ， 中较大者，记函数 ， ， ．若函数 在
上恰有 2个零点，求实数 的取值范围．
4．已知函数 ， ，其中 ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 ，证明 ；
（Ⅲ）用 ， 表示 和 中的较大值，设函数 ， ，讨论函数 在 上
的零点的个数．
5．已知函数 ， ，其中 ．
（1）讨论函数 的单调性，并求不等式 的解集；
（2）若 ，证明：当 时， ；
（3）用 ， 表示 ， 中的最大值，设函数 ， ，若 在 上恒成
立，求实数 的取值范围．
6．已知函数 ， ．
（1）证明 恒成立；
（2）用 ， 表示 ， 中的最大值．已知函数 ，记函数 ，
，若函数 在 上恰有 2个零点，求实数 的取值范围．
7．已知函数 ， ．
（1）若 在区间 ， 上的最大值为 ，求实数 的取值范围；
（2）设 ， ，记 ， ， 为 从小到大的零点，当
时，讨论 的零点个数及大小．
8．已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的极大值；
（2）定义函数 ， ，其中 表示几个数据中的最大者， 为自然对数的
底数，当 时，试探究函数 的零点个数．
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