《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第24讲 最值函数的零点问题（解析版）

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第24 讲 最值函数的零点问题
1．已知函数 ， ．
（1）当 为何值时， 轴为曲线 的切线．
（2）设 在 ， 单调递增，求 的取值范围．
（3）用 ， 表示 ， 中的最小值，设函数 ， ，讨论
零点的个数．
【解答】解：（1） ．
设曲线 与 轴相切于点 ， ，
则 ， ，
，
解得 ， ，
因此当 时， 轴为曲线 的切线；
（2） ，
导数为 ，
由题意可得 在 ， 恒成立，
即有 的最小值，
由 的导数为 在 递增，
即有最小值为 4，
则 ，解得 ；
（3）当 时， ，
函数 ， ，
故 在 时无零点．
当 时，若 ，则 （1） ，
（1）， （1） （1） ，
故 是函数 的一个零点；
若 ，则 （1） ，
（1）， （1） （1） ，
故 不是函数 的零点；
当 时， ，
因此只考虑 在 内的零点个数即可．
①当 或 时， 在 内无零点，
因此 在区间 内单调，
而 ， （1） ，
当 时，函数 在区间 内有一个零点，
当 时，函数 在区间 内没有零点．
②当 时，函数 在 内单调递减，在 ， 内单调递增，
故当 时， 取得最小值 ．
若 ，即 ，则 在 内无零点．
若 ，即 ，则 在 内有唯一零点．
若 ，即 ，由 ， （1） ，
当 时， 在 内有两个零点．
当 时， 在 内有一个零点．
综上可得：当 或 时， 有一个零点；
当 或 时， 有两个零点；
当 时，函数 有三个零点．
2．已知函数 ， ．
（1）若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围；
（2）若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
（3）用 ， 表示 ， 中的最小值，设函数 ， ，讨论 零点的个数．
【解答】解：（1）若函数 的定义域为 ，
则任意 ，使得 ，
所以△ ，解得 ，
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