《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第21讲 零点问题之一个零点（解析版）

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第21 讲 零点问题之一个零点
1．已知 ，函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 在 上仅有一个零点，求 的取值范围．
【解答】解：（1）由题可知： ，
令 ．
当 ， ，
此时， 在 ， 单调递增， 在 单调递减；
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增．
当 ， ，
此时， 在 上单调递增， 在 单调递减．
综上，当 时， 的增区间为 ， 的减区间为 ；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 的增区间为 ， 的减区间为 ．
（2）由题可得：
（a） ；
由（1）可得：
当 时， ，所以 仅在 有一个零点，满足要求；
当 时， 仅有一个零点 ，满足要求；
当 时， ，又 在 上仅有一个零点，则 （a） ，即 ，
综上，若 在 上仅有一个零点，则 的取值范围时 ．
2．已知函数 ．
（1）若 是函数 的一个极值点，试讨论 的单调性；
（2）若 在 上有且仅有一个零点，求 的取值范围．
【解答】解：（1） ，
是函数 的一个极值点，则 ．
， ．
，
当 时， 恒成立， 在 上单调递减．
当 时， ．
在 ， 上单调递减，在 递增．
综上，当 时， 在 上单调递减．
当 时， 在 ， 上单调递减，在 递增．
（2） 在 上有且仅有一个零点，即方程 有唯一解，
令 ， ，令 ，可得 或 ．
时， ， 时， ， 时，
在 递增，在 ， 递减，
且 时， ， 时，
或 ．
，或
所以， 的取值范围 ， ．
3．已知函数 ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明： 恰有一个零点．
① ， ；
② ， ．
【解答】解：（Ⅰ） ， ，
① 当 时，当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
② 当 时，令 ，可得 或 ，
当 时，
当 或 时， ，当 时， ，
在 ， ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
时，
且等号不恒成立， 在 上单调递增，
当 时，
当 或 时， ，当 时， ，
在 ， ， 上单调递增，在 ， 上单调递减．
综上所述：
当 时， 在 上单调递减；在 上 单调递增；
当 时， 在 ， 和 上单调递增；在 ， 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 ， 上单调递增；在 ， 上单调递减．
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