《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第20讲 不等式恒成立之max，min问题（原卷版）

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第20 讲 不等式恒成立之 max，min 问题
一、解答题
1．（2021·云南师大附中高三月考（文））已知函数 ， ，其中
.
（1）证明：当 时， ；当 时， ；
（2）用 表示 m，n中的最大值，记 .是否存在实数 a，对任意的 ，
恒成立.若存在，求出 a；若不存在，请说明理由.
2．（2021·云南师大附中高三月考（理））已知函数 ，
，其中 .
（1）证明：当 时， ；当 时， ；
（2）用 表示 m，n中的最大值，记 .是否存在实数 a，对任意的 ，
恒成立.若存在，求出 a；若不存在，请说明理由.
3．（2021·广东·顺德一中高三开学考试）已知函数 ， ，其
中 ．
（1）讨论函数 的单调性，并求不等式 的解集；
（2）若 ，证明：当 时， ；
（3）用 表示 ， 中的最大值，设函数 ，若 在 上恒成立，
求实数 的取值范围．
4．（2019·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数 .
（I）若 是 上的单调函数，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）当 时，记 的最小值为 ，证明： .
5．（2019·云南·一模（理））已知 是自然对数的底数，函数 与 的定义域都是
.
（1）求函数 在点 处的切线方程；
（2）求证：函数 只有一个零点 ，且 ；
（3）用 表示 ， 的最小值，设 ， ，若函数 在
上为增函数，求实数 的取值范围．
6．（2018·江西·南昌二中高二期末（文））设函数 .
（1）若 ，证明： 在 上存在唯一零点；
（2）设函数 ，（ 表示 中的较小值），若 ，求 的取值范围.
7．（2016·广西来宾·一模（理））已知函数 ．
（1）证明 在区间 内有且仅有唯一实根；
（2）记 在区间 内的实根为 ，函数 ，若方程 在区间
有两不等实根 ，试判断 与 的大小，并给出对应的证明．
8．（2016·安徽合肥·一模（理））已知函数 .
（1）记 ，证明 在 区间内有且仅有唯一实根；
（2）记 在 内的实根为 ， ，若 在 有两不等实根
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