《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第03讲 极值点偏移：加法类型（原卷版）

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第03 讲 极值点偏移:加法类型
一．解答题（共 27 小题）
1．（2021•浙江期中）已知函数 有两个不同的零点 ， ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： ．
2．（2021•汕头一模）已知函数 有两个相异零点 ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）求证： ．
3．（2016 秋•海淀区校级月考）已知函数 ， ．
（Ⅰ）求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；
（Ⅱ）若 ，求 的零点个数；
（Ⅲ）若 有两个零点 ， ，证明： ．
4．（2021•江门一模）已知函数 ， 是常数．
（Ⅰ）求曲线 在点 ， （2） 处的切线方程，并证明对任意 ，切线经过定点；
（Ⅱ）证明： 时，设 、 是 的两个零点，且 ．
5．（2021•汕尾一模）已知函数 ．
（1）若曲线 在 ， 处的切线方程为 ，求 ， 的值；
（2）当 ， 时，证明：函数 有两个零点 ， ，且 ．
6．（2021•临沂期中）已知函数 ，其中 为常数，且 ．
当 时，若 在 ， 上的最大值为 1，求实数 的值；
若 ，且函数 有两个不相等的零点 ， ，证明： ．
7．（2021•贵州模拟）已知函数 ， ．
（1）求函数 在 ， 的最小值；
（2）设 ，证明： ；
（3）若存在实数 ，使方程 有两个实根 ， ，且 ，证明： ．
8．（2021•南开区三模）已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 ，分别解答下面两题：
若不等式 对任意的 恒成立，求 的取值范围；
若 ， 是两个不相等的正数， ，求证： ．
9．（2021•红河州一模）已知函数 ．
（Ⅰ）若函数 在 ， （1） 处的切线与直线 平行，求实数 的值；
（Ⅱ）若 时，函数 恰有两个零点 ， ，证明： ．
10．（2021•苏州期末）已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）当函数 与函数 图象的公切线 经过坐标原点时，求实数 的取值集合；
（3）证明：当 时，函数 有两个零点 ， ，且满足 ．
11．（2021•浙江模拟）已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围；
（ Ⅲ ） 当 时 ， 若 ， 为 函 数 的 两 个 零 点 ， 试 证 明 ：
．
12．（2021•启东市校级开学）已知函数 ， ．
（1）若 ，求函数 在 为自然对数的底数）上的零点个数；
（2）若方程 恰有一个实根，求 的取值集合；
（3）若方程 有两个不同的实根 ， ，求证： ．
13．（2016•河南模拟）已知函数 ，其中 为常数．
（Ⅰ）若 恰有一个解，求 的值；
（Ⅱ） 若函数 ，其中 为常数，试判断函数 的单调性；
若 恰有两个零点 ， ，求证： ．
14．（2021•青州市三模）已知 ．
（1）求 的单调区间；
（2）设 ， ， 为函数 的两个零点，求证： ．
15．（2015 秋•天津期末）已知函数 ．
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