《决胜2022年新高考数学中档题提分精练》第04讲 等差数列、等比数列基本运算问题（解析版）

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第04 讲 等差数列、等比数列基本运算问题
1．已知数列 是公差为 3的等差数列，数列 满足 ， ， ，
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 的前 项和．
【解答】解： ， ， ，可得 ，即 ，
所以数列数列 是首项为 2，公差为 3的等差数列，
通项公式为 ；
由 和 ，可得 ，
因此 是首项为 1，公比为 的等比数列．
所以 ，所以 ，
前 项和 ，
，
相减可得
，
化简可得前 项和 ．
2．已知 是公差为 3的等差数列，数列 满足 ， ， ，
（1）求 的值并求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【解答】解：（1）由 ， ， ，当 时，有 （2分）
因为 ，所以 （4分）
又 是公差为 3的等差数列，所以 （6分）
（2）由 知： ，
化简得 ，即 （8分）
即数列 是以 1为首项，以 为公比的等比数列，所以 （10 分）
所以等比数列 的前 项和 （12 分）
3．已知数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题．
①，且 ；
②是 和 的等比中项， ．
若公差不为 0的等差数列 的前 项和为 ，且 _______，求数列 的前 项和 ．
【解答】解：（1） ，且 ，可得 ，
即有 ，
当 时， ，又 ，
两式相减可得 ，
即为 ，
而 ，
所以 是首项和公比均为 2的等比数列，
则 ， ；
（2）选①，且 ；
设公差为 ，由 ，即 ，
又 ，解得 ，
则 ， ， ；
选②是 和 的等比中项， ．
可得 ，即 ，化简可得 ，
又 ，解得 ，
所以 ， ，
则 ，
所以 ，
，
上面两式相减可得
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