《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题10两角和与差的三角函数（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 10 两角和与差的三角函数
1专题综述
两角和与差的三角函数，由于集中交汇了三角函数内部各知识模块间的内容，还常常涉及函数、向量、解
三角形等知识，形成了化简、求值(最值)求单调区间等多种题型，对于考查学生的数学思维能力、计算能
力推理能力是一个很好的平台.本节内容是高考数学试卷中必考的、反复考查的知识点，要求学生能够做到
熟练掌握、灵活运用.
在《考试大纲》中，对两角和与差的三角函数的要求是:(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；
(2)能利用两角差的余弦公式，导出两角差的正弦、正切公式；(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正
弦、余弦、正切公式.由此，我们可以分析出本节内容的两个考点:能由两角差的余弦公式推导出两角和的
余弦公式，及两角和与差的正弦、正切公式，了解它们的内在联系；掌握两角和与差的正弦、余弦、正切
公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.
命题趋势分析:近3年来，各地的高考数学试卷中，对两角和与差的三角函数的考查在选择题、填空题和解
答题中都有出现，其命题规律大致为:利用两角和与差的三角函数公式直接进行求值，或通过两角和与差公
式的逆用、变形使用进行求值、化简，主要考查两角和与差的三角函数等基础知识和利用这些知识进行运
算的能力；通过拆角、拼角等方法，利用两角和与差三角函数公式进行求值、化简，考查学生的推理能力
和运算能力；以两角和与差的三角函数、解三角形、函数、向量等知识为素材形成交汇，主要考查学生综
合运用上述知识进行运算求解的能力.通过研究已经公布的 2018 年《考试说明》发现，2018 年高考对本节
知识的考查要求未有改变.近3年高考的命题思路和命题风格均相对稳定，预计 2018 年高考对两角和与差
的三角函数的考查会延续上述命题的思路和风格.
2难点与剖析
2.1 难点梳理
对于求值(求角)、化简等题型来说，学生学习的难点有两个:一是如何准确地记住众多两角和与差的三角函
数公式，以及如何理解这些公式之间的内在联系；二是如何根据题目条件中三角函数的结构形式去选择合
适的方法来解决问题.
对于两角和与差的三角函数与三角函数、解三角形、向量等知识的综合题型，对学生的思维和运算能力要
考点命题分析
求相对较高，难度较大.
2.2 突破难点
如何才能让学生准确记住两角和与差的三角函数的公式，并能理解这些公式之间的关系，我们的做法是 :在
复习时，帮助学生回忆并重建这些知识，包括两角差的余弦公式的推导过程，以及由此出发，推导出两角
和的余弦公式、两角和与差的正弦公式、两角和与差的正切公式.通过这些公式的推导，让学生深刻理解这
些公式的来龙去脉和公式之间的联系，建立起完整的知识结构.同时，也复习了解决三角函数问题中常用的
数形结合、转化与化归、整体代换等思想方法，以及弦化切、切化弦、正弦与余弦互化等常用方法.
如何才能根据题目中的三角函数结构形式，选择合适的方法来解决问题?我们的做法是:分析结构、寻找规
律、巧用方法.分析结构，就是要认真分析已知式子和所求式子的整体结构之间的异同点，帮助我们找到变
形的方向；寻找规律，就是要寻求函数名之间、角之间的差别和联系，为我们选用正确的方法做好前期准
备；巧用方法，就是要熟练掌握解决三角求值、化简的常用方法:切化弦法、升降幂法、辅助元素法、“1”
的代换法等，熟悉角的拆拼、变换的技巧.
两角和与差的三角函数与其他三角函数的综合，通常需要将f(x)的解析式转化为
的形式加以解决.两角和与差的三角函数与向量的综合，通常要利用向量的共线、数量积的概念和运算，将
向量问题转化为三角函数问题，利用三角函数有关知识和方法加以解决 .两角和与差的三角函数与解三角形
综合，通常涉及求解三角形基本量、判定三角形形状以及解三角形应用题等三类问题 .不过在这三类问题中，
两角和与差的三角函数不是考查的重点，其核心考点通常是解三角形及其应用.解这类综合题的基本思路是
将几何问题转化为代数问题，分析已知等式中的边角关系，利用两角和与差的三角函数公式、正弦定理、
余弦定理、任意三角形面积公式等进行三角形边角互化，或将已知量和未知量集中在一个三角形中，利用
正弦定理和余弦定理加以解决.
针对不同问题的个性化的难点突破方法，我们将通过下面的典例剖析加以阐述.
3典例剖析
例1(1)在平面直角坐标系xOy 中，角 与角 均以 Ox 轴为始边，它们的终边关于 y轴对称.若，则
.
(2) .
(3) .
(4)已知 ，则 .
(5) .
(6) .
思 路 探求:(1) 对 角 的 终边所在 的 象 限 合理分类讨论， 分 别求出 ，直接代入求 出
.
(2)利用 160°+20°=180°，将cos160°=－cos20°，逆用两角和的正弦公式 sin30°= .
(3)通过观察，发现 15°+75°=90°，将式子化为 .
(4) 把两 角 和 与 差 的 正 弦 公 式 中 的 ，分别 看 成 一 个 整 体 ， 通 过 解 方 程 组， 求 出
，求出 .
(5)因为23°+37°=60° ，联想公式 ，逆用两角和正切公式，并进行变形得:
.
(6)两角和的正切的分子中出现了“1”，利用 1= 进行代换，即得 .
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