《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第六章 第6节 小题中的建系策略-解析版

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第6节 小题中的建系策略（新高考、理科专用）
知识与方法
空间向量这一强大工具，不仅可以用在立体几何大题中，近似流程化地计算线面角、
二面角，在诸多小题中，建立空间直角坐标系，运用空间解析几何的方法，研究动点的轨
迹，也能巧妙地解决问题.
典型例题
【例题】如下图所示，长方体 中， ， ， ，点 E、F
分别在棱 和 上，且 ，则 的长的取值范围为_______.
【解析】解法 1：以 A为原点建立如图 1所示的空间直角坐标系，则 ，
由 题 意 ， 可 设 ， ， 其 中 ， ， 则 ，
，因为 ，所以 ，显然 ，所以
，且 ，因为 ，所以 ，结合 解得：
，
即 的长的取值范围为
解法 2：如图 1，连接 ，因为 平面 ，所以由三垂线定理可得 等价
于 ，将矩形 单独画出来，并以 为直径画圆与 交于 M、N两点，作
于H，如图 2，则当点 E在线段 上运动时，可以使得满足 的点 F落
在 线 段 上 ， 显 然 ， ， 所 以 ， 从 而
， ，即 的长的取值范围为
【答案】
变式 1 如下图所示，长方体 中， ， ， ，点 E在矩形
内（含边界），且 ，则 的长的最小值为_______.
【解析】以 A为原点建立如图 1所示的空间直角坐标系，则 ， ，可设
， ， ， 因 为 ， 所 以
，
化简得： ，所以点 E的轨迹是矩形 内以 为圆心，3为半径
的圆的一部分，如图 2，设圆 P与 交于点 M，显然当 E与M重合时， 取得最小值，
由图可知 ，所以 的长的最小值为 3.
【答案】3
变式 2 如下图所示，长方体 中， ， ，F在 上，
且 ，点 E在矩形 内（含边界），且 ，则 的面积的最
小值为_______.
【解析】以 A为原点建立如图 1所示的空间直角坐标系，则 ， ，
因为 ，所以 ，故 ，显然 ，所
以 ，设 ， ， ，则 ，整理得
，所以点 E的轨迹是矩形 内的以 为圆心， 为半径的
圆 的 一 部 分 ， 故 当 点 E在 如 图 2所 示 位 置 时 ， 的 面 积 最 大 ， 显 然
.
【答案】4
变式 3 如下图所示，四棱锥 中，底面 是边长为 2的正方形， 为正
三角形，且平面 平面 ，M为正方形 内的一个动点，满足 ，
则点 M的轨迹的长为_______.
【解析】解法 1：以 中点 O为原点建立如图 1所示的空间直角坐标系，则 ，
，设 ，因为 ，所以 ，整理得：
，将平面 单独画出来如图 2，显然方程 表示直线 ，其
中G为 的中点，易求得 ，所以点 M轨迹的长为 .
解法 2：要在正方形 内寻找满足 的点 M，就是要过 的中点 E作与
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