《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第5节 极限思想-解析版

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第5节 极限思想
知识与方法
高中数学并没有系统地学习极限的相关理论，但掌握一些简单的分析极限的方法，可
以巧妙地解决一些选择题，其本质是特值法的思想.运用极限思想分析问题时，我们常用以
下方法：
（1）当 时，我们把 想象成一个很大的数，例如 10000；
（2）当 时，我们把 想象成一个很小的数，例如 ；
（3）当 时，我们把 想象成一个比 0大一点点的数，例如 0.01；
（4）当 时，我们把 想象成一个比 0小一点点的数，例如 .
提醒：①当选项中出现了“ ”或“ ”时，或者在判断函数图象时，可以考虑极
限思想；②设 ， ，对于函数 ， ， ，当 时，
，符号“ ”表示远大于，若指、对、幂混合在一个函数中，我们在考虑
问题时，可以只看主要成分，忽略次要成分，例如，当 时， ，
，若是同类型的函数混合在一个函数中，则需要关注底数、次数等，例如当
时， ， .
典型例题
【例 1】己知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【解析】
解法 1：由题意，当 时， ， ，
， 从 而 即 为 ， 故
， 当 时 ， ， ， ， 从 而
即为 ，所以 ，
综上所述，不等式 的解集是
解法 2：易求得 ，当 时， ，不满
足 ，排除选项 A和C，另一方面，由上一小节的端点临界特征，不难发现
应为解的区间端点，故选 D.
【答案】D
【例 2】（2018·新课标 II 卷）函数 的大致图象为（ ）
【解析】先分析当 时， 的极限，我们也不用把 取得太大，就假设 ，
则 ，不难发现 比 10000 大得多，所以 是一个很大的数，
如果将 x取成更大的数，那么 也会变得更大，从而当 时， ，排除
选项 C和D，
当 时，我们可以取 ，则 ，
从而不难发现 时， ，排除 A，故选 B.
【答案】B
【例 3】（2020·天津）函数 的图象大致为（ ）
【解 析 】设 ，则 ，排除 B、D，
，排除 C，故选 A.
【答案】A
【例 4】函数 有 2个零点，则实数 的取值范围是_______.
【解析】 ，设 ，则 ,
所以 ， ，从而 在 上 ，在
上 ， ， ，
，
据此可作出函数 的大致图象如图，由图可知当 时，直线 与该图
象有 2个交点，
即函数 有 2个零点，所以实数 的取值范围是 .
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