《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第1节 一次型分式函数的图象性质-解析版

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第一章 函数与导数
第1节 一次型分式函数的图象性质
知识与方法
我们把函数 称为一次型分式函数，这类函数的图象一定是
双曲线，且有垂直渐近线 ，水平渐近线 ，对称中心 .在理解并熟悉了
这些性质的基础上，可以快速地作出函数 的图象，解决一些常见的问题.
典型例题
【例 1】函数 在 上的值域为________.
【解析】 图象的两条渐近线分别为 和 ，且 ，据此可作出 的大
致图象如图，
由 图 可 知 在 上 ， 所 以 ， ， 故 在
上的值域为 .
【答案】
变式 函数 的值域为_________.
【解析】设 ，则 ，且 ，
函数 图象的两条渐近线分别为 和 ，且过点 ，所以其大致图象如
图所示，由图可知 在 上 ，故 ， ，从而函数 的值域
为.
【答案】
【例 2】（2021·新课标Ⅰ卷）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】解法 1：A项， 不是奇函数，故 A
项错误；
B项， 是奇函数，故 B项正确；至此本题已可
选出答案，
C项， 不是奇函数，故 C项错误；
D项， ，不是奇函数，故 D项错误.
解法 2：由题意， 的图象的对称中心为 ，故将其右移 1个单位，上移 1个单位，
得到的图象关于就原点对称，恰好为奇函数，即 为奇函数，故选 B.
【答案】B
【例 3】函数 的图象关于直线 对称，则 _________.
【解析】由题意，函数 的对称中心为点 ，因为 的图象关于
直线 对称，所以点 A在直线 上，从而 ，故 .
【答案】.
【例 4】函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是________.
【解析】由题意， 的图象的两条渐近线分别为 和 ，如图，要使 在
上 ，首先应有 ，其次， ，所以 ，故 的取值范围是
.
【答案】
强化训练
1.（★★）函数 在 上的最大值为_______.
【解析】 的图象的两条渐近线分别为 和 ，且 ，据此可作出
的大致图象如图，
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