第17讲 确定二次函数解析式的六种方法（原卷版）-【暑假自学课】2022年新九年级数学暑假精品课（人教版）

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第17 讲 确定二次函数解析式的六种方法
【学习目标】
1. 会用待定系数法求二次函数的表达式.
2. 会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
【基础知识】
1. 一般式法二次函数的表达式
1）待定系数法求解二次函数一般式步骤：
（1）设：表达式；（2）代：坐标代入；（3）解：方程（组）；（4）还原：写解析式。
2）一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是： ①设函数表达式为 y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组；
③ 解方程组得到 a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
2. 顶点法求二次函数的表达式方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
① 设函数表达式是 y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于 a的一元一次方程；
③ 将另一点的坐标代入原方程求出 a值； ④ a用数值换掉，写出函数表达式.
3．交点法求二次函数的表达式
这种知道抛物线与 x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
交点法求二次函数的表达式其步骤是： ①设函数表达式是 y=a(x-x1)(x-x2)；
② 先把两交点的横坐标 x1, x2代入到表达式中，得到关于 a的一元一次方程；
③ 将方程的解代入原方程求出 a值；④ a用数值换掉，写出函数表达式.
4. 特殊条件的二次函数的表达式
1）二次函数 的平移
（1）将二次函数 左右平移：
向左平移 m个单位，函数解析式变为 ；
向右平移 m个单位，函数解析式变为 ．
（2）将二次函数 上下平移：
向上平移 n个单位，函数解析式变为 ；
向下平移 n个单位，函数解析式变为 ．
（3）通常，在平移前，将二次函数 化成 的形式，再根据平移的情况写出
平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．
2）二次函数的轴对称
（1）关于 x轴对称：
关于 x轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 x轴对称后，得到的解析式是 ．
（2）关于 y轴对称：
关于 y轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 y轴对称后，得到的解析式是
3）二次函数的中心对称
（1）关于原点对称：
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
关于原点对称后，得到的解析式是 ．
（2）关于顶点对称：
关于顶点对称后，得到的解析式是 ；
关于 y轴对称后，得到的解析式是 ．
【考点剖析】
考点一：开放型
例1．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）已知一个二次函数的二次项的系数是 1，
且经过点（ 1，0），请写一个符合上述条件的二次函数表达式_______．
变式 1. （2021•昌平区二模）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线 x＝4；乙：顶点到 x轴的距离为 2．请你写出一个符合条件的解析式：　
　 ．
考点二：利用一般式求解析式
例2．（2022·浙江杭州·九年级期末）若二次函数的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（¯¯
¯¯¯¯¯）
A．y≤3 B．y≤6 C．y≥-3 D．y≥6
变式 2. （2021•埇桥区期末）二次函数图象过 A，C，B三点，点 A的坐标为（﹣1，0），点 B的坐标为
（4，0），点 C在y轴正半轴上，且 AB＝OC，求二次函数的表达式．
考点三：利用顶点式求解析式
例3．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）已知抛物线的顶点坐标是 ，且与 y轴交于点
，这个抛物线的解析式是（¯¯¯¯¯¯¯）
A． B． C． D．
变式 3. （2021·浙江杭州·九年级阶段练习）某二次函数的图象与函数 y＝x24﹣x＋3的图象形状相同、开
口方向一致，且顶点坐标为（﹣2，1），则该二次函数表达式为（¯¯¯¯¯¯¯）
A．y＝ （x2﹣）2＋1 B．y＝ （x2﹣）21 C﹣．y＝ （x＋2）2＋1 D．y＝﹣ （x＋2）2＋1
考点四：利用两根式求解析式
例4．（2021•任城区校级期中）抛物线与 x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（
）
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