第17讲 确定二次函数解析式的六种方法（解析版）-【暑假自学课】2022年新九年级数学暑假精品课（人教版）

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第17 讲 确定二次函数解析式的六种方法
【学习目标】
1. 会用待定系数法求二次函数的表达式.
2. 会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
【基础知识】
1. 一般式法二次函数的表达式
1）待定系数法求解二次函数一般式步骤：
（1）设：表达式；（2）代：坐标代入；（3）解：方程（组）；（4）还原：写解析式。
2）一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是： ①设函数表达式为 y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组；
③ 解方程组得到 a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
2. 顶点法求二次函数的表达式方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
① 设函数表达式是 y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于 a的一元一次方程；
③ 将另一点的坐标代入原方程求出 a值； ④ a用数值换掉，写出函数表达式.
3．交点法求二次函数的表达式
这种知道抛物线与 x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
交点法求二次函数的表达式其步骤是： ①设函数表达式是 y=a(x-x1)(x-x2)；
② 先把两交点的横坐标 x1, x2代入到表达式中，得到关于 a的一元一次方程；
③ 将方程的解代入原方程求出 a值；④ a用数值换掉，写出函数表达式.
4. 特殊条件的二次函数的表达式
1）二次函数 的平移
（1）将二次函数 左右平移：
向左平移 m个单位，函数解析式变为 ；
向右平移 m个单位，函数解析式变为 ．
（2）将二次函数 上下平移：
向上平移 n个单位，函数解析式变为 ；
向下平移 n个单位，函数解析式变为 ．
（3）通常，在平移前，将二次函数 化成 的形式，再根据平移的情况写出
平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．
2）二次函数的轴对称
（1）关于 x轴对称：
关于 x轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 x轴对称后，得到的解析式是 ．
（2）关于 y轴对称：
关于 y轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 y轴对称后，得到的解析式是
3）二次函数的中心对称
（1）关于原点对称：
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
关于原点对称后，得到的解析式是 ．
（2）关于顶点对称：
关于顶点对称后，得到的解析式是 ；
关于 y轴对称后，得到的解析式是 ．
【考点剖析】
考点一：开放型
例1．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）已知一个二次函数的二次项的系数是 1，
且经过点（ 1，0），请写一个符合上述条件的二次函数表达式_______．
【答案】y=x2+2x+1（答案不唯一）
【分析】由待定系数法可设出函数的表达式，代入点坐标即可求得系数的关系式，进而可得到答案．
【详解】解：设二次函数的表达式为
∵二次函数过点（-1,0）∴ 令 ，则
∴二次函数的表达式为 故答案为： ．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
变式 1. （2021•昌平区二模）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线 x＝4；乙：顶点到 x轴的距离为 2．请你写出一个符合条件的解析式：　
　 ．
【分析】设抛物线 y＝ax2+bx+c，根据对称轴公式得对称轴 x4，顶点到 x轴的距离为 2，即可得顶
点坐标为（4，﹣2）或（4，2），把顶点坐标代入抛物线解析式，即 2b+c＝±2，满足这样条件的抛物线不
唯一．设 a＝2，根据 b、c的关系取值即可得到抛物线解析式．
【详解】解：设抛物线 y＝ax2+bx+c，对称轴 x4，顶点到 x轴的距离为 2，
即顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），把顶点坐标代入抛物线解析式得：16a+4b+c＝±2，
∵4，即：2b+c＝±2，满足这样条件的抛物线不唯一．
设a＝2，2b+c＝2时则 设a＝2，2b+c＝﹣2时，则 ，
故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x216﹣x34﹣．故答案为：y＝﹣2x216﹣x34﹣．答案不唯一．
考点二：利用一般式求解析式
例2．（2022·浙江杭州·九年级期末）若二次函数的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（ÆÆ
ÆÆÆÆÆ）
A．y≤3 B．y≤6 C．y≥-3 D．y≥6
【答案】C
【分析】根据图像经过三点求出函数表达式，再根据最值的求法求出结果．
【详解】解：设二次函数的解析式为 y＝ax2+bx+c，
∵二次函数经过（﹣1，1），（4，6），（3，1），
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