第07讲 根据二次函数的图象信息解题的六种常考题型（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）

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第07 讲 根据二次函数图象信息解题的六种常考题型（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 根据二次函数图象确定 a,b,c 及与其有关的代数式的值
典例 1（2022•成都）如图，二次函数 y＝ax2+bx+c的图象与 x轴相交于 A（﹣1，0），B两点，对称轴是直
线x＝1，下列说法正确的是（　　）
A．a＞0
B．当 x＞﹣1时，y的值随 x值的增大而增大
C．点 B的坐标为（4，0）
D．4a+2b+c＞0
思路引领：由抛物线开口方向可判断 A，根据抛物线对称轴可判断 B，由抛物线的轴对称性可得点 B的
坐标，从而判断 C，由（2，4a+2b+c）所在象限可判断 D．
解：A、由图可知：抛物线开口向下，a＜0，故选项 A错误，不符合题意；
B、∵抛物线对称轴是直线 x＝1，开口向下，
∴当x＞1时y随x的增大而减小，x＜1时y随x的增大而增大，故选项 B错误，不符合题意；
C、由 A（﹣1，0），抛物线对称轴是直线 x＝1可知，B坐标为（3，0），故选项 C错误，不符合题意；
D、抛物线 y＝ax2+bx+c过点（2，4a+2b+c），由 B（3，0）可知：抛物线上横坐标为 2的点在第一象
限，
4∴a+2b+c＞0，故选项 D正确，符合题意；
故选：D．
解题秘籍：本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，数形结合解
决问题．
针对训练 1
1．（2022•曾都区一模）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c与x轴交于点 A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与
y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①b＞c；②
8
3≤
n≤4；③若抛物线
经过点（﹣3，y1）和点（4，y2），则 y1＞y2；④关于 x的方程 ax2+bx+c＝3有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
思路引领：根据抛物线过点 A以及抛物线对称轴为 x＝1，得出 c
¿3b
2
，再根据图象图象可得 a＜0，b＞
0，c＞0，从而判断①；根据抛物线过点 A以及抛物线对称轴为 x＝1，可以得出抛物线与 x轴的两个交
点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），得出 a
¿−c
3
，b
¿2
3
c，从而得出 n
¿4c
3
，再根据 2≤c≤3，从而判断
②；根据抛物线的对称性可以判断③；根据②中n的取值范围可以判断④．
解：由函数图象可得 a＜0，b＞0，c＞0，
∵抛物线 y＝ax2+bx+c与x轴交于点 A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
又∵对称轴为 x
¿−b
2a=¿
1，
∴a
，
∴
−b
2−
b+c＝0，
∴c
¿3b
2
，
∴c＞b，
故①错误；
∵抛物线与 x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），
1×3∴﹣＝﹣3，
∴
c
a=−
3，则 a
¿−c
3
，
∵
−b
2a=¿
1，
∴b＝﹣2a
¿2
3
c，
∴n＝a+b+c
¿4
3
c．
2≤∵c≤3，
8
3≤4
3
c≤4，
8
3≤
n≤4．
故②正确；
∵抛物线的对称轴为 x＝1，1﹣（﹣3）＝4，4 1﹣＝3，
∴y1＜y2，
故③错误；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
8
3≤
n≤4，
∴抛物线 y＝ax2+bx+c与直线 y＝3交点个数不能确定，
故④错误．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是结合图象以及给定条件逐个分析 4条
结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用二次函数的系数表示出来抛物线的顶点坐
标是关键．
类型二 利用二次图象比较大小
典例 2（2021 秋•泰兴市期末）已知抛物线 y＝x2+2x3﹣与x轴负半轴交于点 A，与 y轴交于点 B，直线 m
经过点 A和点 B．
（1）求直线 m的函数表达式；
（2）若点 P（a，y1）和点 Q（a，y2）分别是抛物线和直线 m上的点，且﹣3＜a＜0，判断 y1和y2的大
小，并说明理由．
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