专题2.5 追及相遇问题-2022-2023学年高一物理举一反三系列（人教版2019必修第一册）（解析版）

3.0 envi 2025-03-17 4 4 524.35KB 16 页 3知币

专题 2.5 追及相遇问题

【人教版】

【题型 1 先远离后靠近的问题】......................................................................................................

【题型 2 先靠近后远离的问题】......................................................................................................

【题型 3 刹车类问题】......................................................................................................................

【题型 4 图像问题】..........................................................................................................................

【题型 5 能否撞上的问题】..............................................................................................................

【题型 6 极值问题】..........................................................................................................................

【题型 1 先远离后靠近的问题】

【例 1】一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以 10 m/s 的速度匀速行驶的货

车严重超载时，决定前去追赶，经过 5.5 s 后警车发动起来，并以 2.5 m/s2的加速度做匀加

速运动，但警车的行驶速度必须控制在 90 km/h 以内.求：

(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；

(2)警车发动后要多长时间才能追上货车.

答案　(1)75 m　(2)12 s

解析　(1)当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过 t1时间两车的速度相等.

则：t1＝＝ s＝4 s

x货＝v1＝10×(5.5＋4) m＝95 m

x警＝at12＝×2.5×42 m＝20 m

所以两车间的最大距离

Δx＝x货－x警＝75 m

(2)警车达到最大速度 v＝90 km/h＝25 m/s 的时间：

t2＝＝10 s

此时两车的位移分别为

x警′＝＝ m＝125 m

x货′＝v1＝10×(5.5＋10) m＝155 m

两车距离

Δx′＝x货′－x警′＝30 m

警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过 Δt时间追上货车，

则：Δt＝＝2 s

所以警车发动后要经过 t＝t2＋Δt＝12 s，才能追上货车.

【变式 1-1】(多选)物体 A以10 m/s 的速度做匀速直线运动。物体 A出发后 5 s，物体 B从

同一地点由静止出发，做匀加速直线运动，加速度大小是 2 m/s2，且 A、B运动方向相同。

则(　 )

A．物体 B追上物体 A所用的时间为 5 s

B．物体 B追上物体 A所用的时间为(5＋5)s

C．物体 B追上物体 A前，两者的最大距离为 75 m

D．物体 B追上物体 A前，两者的最大距离为 50 m

解析：选BC　设物体 B出发后经时间 t追上物体 A，则：xA＝xB，vA(t＋5)＝at2，解得 t＝(5

＋5)s，故 A错误，B正确；相遇前相距最大距离时 vA＝vB，用时为

Δt，则 2Δt＝10，解得 Δt＝5 s，则 xA＝vA(5＋Δt)＝10×(5＋5)m＝100 m，xB＝aΔt2＝×2×52

m＝25 m，故 Δx＝xA－xB＝75 m，故 C正确，D错误。

【变式 1-2】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以 a＝3 m/s2的加速度开始加

速行驶，恰在这时一辆自行车以 6 m/s 的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口

启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？

答案　2 s　6 m

解析　解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为 t，两

车间的距离为 Δx，则有 v＝at

所以 t＝＝2 s

Δx＝vt－at2＝6 m.

解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间 t两车相距最远，则 Δx＝vt－at2

代入已知数据得 Δx＝6t－t2

由二次函数求极值的条件知：t＝2 s 时，Δx有最大值 6 m

所以 t＝2 s 时两车相距最远，为 Δx＝6 m.

解法三(图像法)：自行车和汽车的 v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻

两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，

v1＝6 m/s

所以有 t1＝＝ s＝2 s，

Δx＝＝ m＝6 m.

【变式 1-3】汽车 A以vA＝4 m/s 的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距 x0＝7 m 处、

以vB＝10 m/s 的速度同向运动的汽车 B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的

加速度大小 a＝2 m/s2.从刚刹车开始计时．求：

(1)A追上 B前，A、B间的最远距离；

(2)经过多长时间 A恰好追上 B.

答案　(1)16 m　(2)8 s

解析　汽车 A和B的运动过程如图所示．

(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，

即v＝vB－at＝vA，

触得 t＝3 s

此时汽车 A的位移 xA＝vAt＝12 m

汽车 B的位移 xB＝vBt－at2＝21 m

故最远距离 Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m.

(2)汽车 B从开始减速直到静止经历的时间

t1＝＝5 s

运动的位移 xB′＝＝25 m

汽车 A在t1时间内运动的位移

xA′＝vAt1＝20 m

此时相距 Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m

汽车 A需再运动的时间 t2＝＝3 s

故A追上 B所用时间 t总＝t1＋t2＝8 s.

【题型 2 先靠近后远离的问题】

【例 2】一辆轿车在平直公路的一条车道上以 72 km/h 的速度匀速行驶，突然发现其正前方

120 m 处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车刹车过程的

加速度大小为 a＝1 m/s2，两车相距最近时，距离为 22 m，忽略司机的反应时间，则货车的

速度大小为(　　)

A．21.6 km/h B．18 km/h

C．16 km/h D．12 km/h

答案　A

解析　轿车速度为 v轿＝72 km/h＝20 m/s，设货车速度为 v货，当二者速度相等时，距离最

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