解三角形专题：三角形中最值范围问题-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）（解析版）

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解三角形专题：三角形中最值范围问题
一、求最值范围问题的预备知识：
1、正弦定理：
a
sinA =b
sinB=c
sinC =2R
（其中
R
为
∆ ABC
外接圆的半径）
正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。
当关于边，或是角的正弦值具备齐次的特征，则可以直接进行边化角或角化边，否则不行。
2、余弦定理：
a2=b2+c2−2bccosA
3、三角形的面积公式：
（1）
S=1
2a∙ h
（
a
为三角形的底，
h
为对应的高）
（2）
，
4、三角形内角和定理：
A+B+C=π
（1）正余弦关系式：
sin A=sin
[
π−
(
B+C
)
]
=sin ⁡(B+C)
（其余两角也有相同结论）
cosA =cos
[
π−
(
B+C
)
]
=−cos ⁡(B+C)
（2）在已知一角的情况下，可用另外一个角表示第三个角，达到消元的目的。
5、两角和与差的正、余弦公式：
sin
(
A ± B
)
=sinAco sB ± cosAsinB
cos
(
A ± B
)
=cosAcosB ∓sinAsinB
6、降幂公式：
sin2A=1−cos 2 A
2
cos2A=1+cos 2 A
2
7、辅助角公式：
asinA+b sinA=❑
√
a2+b2sin ⁡(A+φ)
，其中
tanφ=b
a
8、利用均值不等式求函数的最大值和最小值
二、三角形中的最值范围问题处理方法
法一：利用基本不等式求最值-化角为边
余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基
本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
法二：转为三角函数求最值-化边为角
如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，
这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解
决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边
题型一 与面积有关的最值范围问题
【例 1】在 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 .
（1）求角 A；
（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2）.
【解析】（1）由题意及余弦定理得 ，
所以 ，从而 ，
因为 ，所以 .
（2）由 ，得 ，
所以由正弦定理得
又因为 ，所以 ，
，所以
又 ，所以 ，所以 .
从而 是等边三角形.
因为 ，所以 .
【变式 1-1】 的内角 A
，
B
，
C的对边分别为 a
，
b
，
c，已知 ．
（1）求 B；
（2）若 ，求 的面积的最大值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1） ， ，
所以 ，
所以 ，
， ，
， ．
（2）由余弦定理得 .，
，当且仅当 时取等，
.
所以 的面积的最大值为 .
【变式 1-2】在 中，内角 A
，
B
，
C所对的边长分别为 .
（1）求角 C；
（2）若 ，求 面积的最大值.
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