第10讲 二次函数图象的轴对称性质的运用（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）

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第10 讲 二次函数图象的轴对称性质的运用（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 确定 a,b,c 及其代数式的取值或取值范围
典例 1（2022•嘉峪关三模）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2c
＜3b；③a+2b＞m（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为 2．其中，
正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
思路引领：根据二次函数的图象可知 a＜0，b＞0，c＞0，然后由图象可知当 x＝1时，y的最大值为
a+b+c．当 x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0．若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，分别设为 x1，x2，x3，x4，再由图
象对称性可知 x1+x2＝2，x3+x4＝2．
解：①、由图象可知：
−b
2a=¿
1＞0，a＜0，c＞0，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②、由①知：b＝﹣2a，
由图象可知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，
∴2c3﹣b＝2c+6a＝2（3a+c）＜0，
即2c＜3b，故②符合题意．
③由图象可知：当 x＝1时，y的最大值为 a+b+c，
∴当x＝m（≠1）时，
am2+bm+c＜a+b+c，
∴m（am+b）＜a+b，
∵a+b﹣a2﹣b＝﹣b＜0，
∴a+b＜a+2b，
∴a+2b＞m（am+b），故③符合题意．
④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，分别设为 x1，x2，x3，x4，
其中 x1，x2是方程 ax2+bx+c＝1的两个根，x3，x4是方程 ax2+bx+c＝﹣1的两个根，
则x1+x2＝2，x3+x4＝2，
即这四个根的和为 4，故④不符合题意．
故选：B．
解题秘籍：本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数之间的关系，本题
属于中等题型．
针对训练 1
1．（2022•榆阳区二模）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，已知其对称轴为 x＝1，则下列结
论正确的是（　　）
A．abc＜0 B．2a﹣b＝0 C．5a+3b+2c＜0 D．4ac﹣b2＞0
思路引领：根据抛物线开口方向，对称轴的位置、与 y轴的交点位置分别判断 a、b、c的符号，从而判
断选项 A；根据对称轴 x＝1判断选项 B；对于二次函数 y＝ax2+bx+c，当 x＝1时，y＝a+b+c，当 x＝2时，
y＝4a+2b+c，而 5a+3b+2c就等于当 x＝1与x＝2时二次函数值的和，据此可判断选项 C；根据抛物线与
x轴的交点个数判断选项 D．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在 x轴正半轴，
∴
−b
2a＞
0，
∴a、b异号，
∴b＜0，
∵抛物线与 y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故选项 A错误；
∵抛物线对称轴为直线 x＝1，
∴
−b
2a=¿
1，即 b＝﹣2a．
∴2a+b＝0，故选项 B错误；
由题图可得，当 x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∵抛物线的对称轴为直线 x＝1，
∴当x＝2时，与 x＝0时抛物线上的两个点关于对称轴对称．即（2，4a+2b+c）与（0，c）关于对称轴
对称．
∴4a+2b+c＝c．
∵c＜0，
∴4a+2b+c＜0．
∴（a+b+c）+（4a+2b+c）＜0，即 5a+3b+2c＜0．故选项 C正确；
∵抛物线 y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴b24﹣ac＞0．
∴4ac﹣b2＜0故选项 D错误．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了二次函数的图象与性质及抛物线与一元二次方程的关系，熟记抛物线与 x轴交点
的横坐标就是其所对应一元二次方程的解是解题的关键．
类型二 根据纵坐标相等求代数式的值
典例 2（2021 秋•镜湖区月考）已知点 P（a，m）和 Q（b，m）是抛物线 y＝2x2+4x3﹣上的两个不同点，
则当 x＝a+b时，则代数式 2x2﹣x＝　 　．
思路引领：由于 P、Q两点的纵坐标相等，故这两点是抛物线上关于对称轴对称的两点；而抛物线 y＝
2x2+4x3﹣的对称轴为 x＝﹣1，根据对称轴 x
¿a+b
2
，可求 a+b的值，代入代数式即可．
解：已知点 P（a，m）和 Q（b，m）是抛物线 y＝2x2+4x3﹣上的两个不同点，
因为点 P（a，m）和 Q（b，m）点的纵坐标相等，
所以，它们关于其对称轴对称，
而抛物线 y＝2x2+4x3﹣的对称轴为 x＝﹣1；
故有 a+b＝﹣2，
所以 x＝a+b＝﹣2，
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