第05讲 平方根（解析版）-【寒假自学课】2022年七年级数学寒假精品课（人教版）

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第05 讲 平方根
【学习目标】
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示非负数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根.
3.了解算术平方根的概念，会用根号表示非负数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性.
4.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根.
5.掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.
6.能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.
【基础知识】
一、算术平方根
1.定义：如果一个正数
x的平方等于 a，即 ，那么这个正数
x叫做 a的算术平方根.a 叫做被开方数.
2.记法：a的算术平方根记作： .
3.读法： 读作“根号
a ”.
4.规定：0的算术平方根是 0，也就是说， =0.
二、 的双重非负性
1.被开方数 a是非负数.
2. 是非负数.
三、算术平方根的求法和应用
1.求法：
(1)根据算术平方根的定义，用平方的方法.
(2)应用计算器.
2.应用：利用被开方数越大，对应的算术平方根越大，估算一个被开方数的算术平方根的大小.
【钙奶能理解】
1.判断对错：
(1)任何数都有算术平方根. (×)
(2)一个数的算术平方根一定是正数. (×)
2.数5的算术平方根为 (A)
A. 　　 B.25　　 C.±25　　D.±
3.算术平方根等于它本身的数是 0
和
1 ；0
的算术平方根等于它的相反数.
四、平方根
1.定义：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a的平方根或二次方根.即如果 x2=a，那么 x
叫做 a
的平
方根.
2.表示和读法：正数 a的平方根用符号“ ”表示，读作“正、负根号
a ”.
3.性质：
(1)正数有 2
个平方根，它们互为相反数.
(2)0 的平方根是 0.
(3)负数没有平方根.
五、开平方
1.定义：求一个数 a的平方根的运算.
2.平方和开平方的关系：互为逆运算.
【概念理解】
1.判断对错：
(1)任何数的平方根都有两个 (×)
(2)只有正数才有平方根 (×)
(3)一个正数的平方根的平方还是这个正数. (√)
2.下列说法不正确的是 (C)
A. 是2的平方根 B. 是2的平方根
C.2 的平方根是 D.2 的算术平方根是
3.已知 x2=36，那么 x= ；如果(-a)2=(7)2，那么 a= .
【考点剖析】
考点一：求非负数的算术平方根
例1．求下列各数的算术平方根：
(1)0.64.(2)
【分析】
通过乘方的办法，求出其算术平方根，
【详解】
(1)因为 0.82=0.64，
所以 0.64 的算术平方根是 0.8，即 =0.8.
(2)因为 ，
所以 的算术平方根是 ，即 。
【注意】
求算术平方根的方法
(1)熟记常用的平方数可帮助迅速求一个非负数的算术平方根.
(2)当被开方数为带分数或其中含有运算时，应先将其化为假分数或进行整理，再求其算术平方根.
考点二：算术平方根的应用
例2．小明打算用一块面积为 900cm2 的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为 588cm2
的桌面，并且长宽之比为 4 3∶ ，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由.
【分析】
根据长方形的面积列出方程，解出长方形的边长，并根据长方形的边长和正方形的边长的比较，得到答案.
【详解】
能做到，理由如下：
设桌面的长和宽分别为 4x(cm)和3x(cm)，
根据题意得，4x×3x=588.
12x2=588.
x2=49，x>0，x= =7.
4x=4×7=28(cm).∴
3x=3×7=21(cm).
∵面积为 900cm2的正方形木板的边长为 30cm，28cm<30cm，
∴能够裁出一个长方形面积为 588cm2并且长宽之比为 4 3∶ 的桌面，
答：桌面长宽分别为 28cm 和21cm.
【注意】
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