8.4 空间点、直线、平面的位置关系-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）(解析版)

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8.4 空间点、直线、平面的位置关系

一、平面

1、平面的表示：

（1）在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面。

（2）可写成平面

，平面

ABCD

，平面

或平面

（对角线）

2、平面的画法：

（1）当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成 45°，且横边长等于其邻边长的 2倍；

（2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。

3、特点：

（1）平面是平的；

（2）平面是无限延展的没有边界的；

（3）平面是没有厚度的。

4、点与直线（平面）、直线与平面的位置关系

（1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”，

（2）直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．

二、平面的基本事实

1、基本事实 1

（1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

（2）图形：

（3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面 α使A，B，C∈α

（4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法

2、基本事实：

（1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

（2）图形：

（3）符号表示：A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α⇒l⊂α

（4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内

3、基本事实：

（1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

（2）图形：

（3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l

（4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线

4、三个推论：

推论 1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．

推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

三、空间点、直线、平面位置关系

1．直线与直线的位置关系

（1）共面与异面直线

定义：不同在任何一个平面内的两条直线．

异面直线的画法：

① ②

（2）空间两条直线的位置关系

位置关系特点

相交同一平面内，有且只有一个公共点

平行同一平面内，没有公共点

异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点

2、直线与平面的位置关系

位置关系直线 a在平面 α内

直线 a在平面 α外

直线 a与平面 α相交直线 a与平面 α平行

公共点无数个公共点一个公共点没有公共点

符号表示 a⊂αa∩α＝Aa∥α

图形表示

3、两个平面的位置关系

位置关系两平面平行两平面相交

公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线

上)

符号表示 α∥βα∩β＝l

图形表示

题型一平面的概念与特点

【例 1】下列命题中正确命题的个数是( )

①三角形是平面图形；

②四边形是平面图形；

③四边相等的四边形是平面图形；

④圆是平面图形．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】根据基本事实 3可知①④正确，②③错误．故选 B.

【变式 1-1】关于平面的说法，正确的有（）

①平面是绝对平的且是无限延展的；

②平面的形状是平行四边形；

③三角形可以表示平面；

④某一个平面的面积为 1 m2；

⑤8个平面重叠起来，要比 5个平面重叠起来厚．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

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