6.4.3余弦定理、正弦定理（第3课时）（导学案）原卷版-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)

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《6.4.3 余弦定理、正弦定理》
第 3 课时 余弦定理正弦定理应用举例
导学案
地 位：
本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教 A 版（2019）
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
学习目标：
1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题,培养数学建模的核心素养；
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，提升数学运算的核心素养。
学习重难点：
1.重点：能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题。
2.难点：能将实际问题转化为解三角形问题。
自主预习：
1. 本节所处教材的第 页.
2. 复习——
①　余弦定理：
②　正弦定理：
3. 预习——
仰角、俯角：
方向角、方位角：
新课导学
学习探究
（一）新知导入
珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，海拔 8 848.13 米，29 029 英尺(此数据是在
国家测绘局第一大地测量队的协助下，于 1975 年测定的，1992 年又对其进行了复
测)，是地球上的第一高峰，位于东经 86.9°，北纬 27.9°.
【问题】　8 848.13 米——这个珠峰原“身高”是如何测定的？
（二）余弦、正弦定理应用举例
1.实际应用问题中的专用名词与术语：
（1）基线：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的 叫做基线．为使测量具有较高的精确
度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越 ，测量的精确度越高．
(2)仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在 的角叫仰角，目标视
线在 的角叫俯角(如图①)．
(3)方位角：指从 方向按 转到目标方向线所转过的水平角，如
B
点的方位角为
α
(如图②)．
(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于 90°的水平角，如南偏西 60°，指以正南方向为始边，
顺时针方向向西旋转 60°.
2.运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤
① 分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；
② 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形
的数学模型.
③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.
④ 检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.
3.三角形的面积公式：
(1)在△
ABC
中，边
BC
，
CA
，
AB
上的高分别记为
ha
，
hb
，
hc
，则
①
S
＝
aha
＝
bhb
＝
chc
；
②
S
＝
ab
sin
C
＝
ac
sin
B
＝
bc
sin
A
.
(2)三角形面积公式的其他形式：
①
S
△
ABC
＝，其中
R
为△
ABC
的外接圆半径；
②
S
△
ABC
＝2
R
2sin
A
sin
B
sin
C
，其中
R
为△
ABC
的外接圆半径；
③
S
△
ABC
＝(
a
＋
b
＋
c
)
r
，其中
r
为△
ABC
内切圆的半径；
④
S
△
ABC
＝，其中
p
＝.
拓展：三角形中有关边和角的常用性质：
(1)三角形内角和定理：在△
ABC
中，
A
＋
B
＋
C
＝π；
(2)在△
ABC
中，
a
>
b
⇔
A
>
B
⇔sin_
A
>sin
_
B
；
(3)在△
ABC
中，
a
＋
b
>
c
，
b
＋
c
>
a
，
c
＋
a
>
b
.
(4)在△
ABC
中，
A
为锐角⇔cos
A
>0⇔
a
2<
b
2＋
c
2；
A
为直角⇔cos
A
＝0⇔
a
2＝
b
2＋
c
2；
A
为钝角⇔cos
A
<0⇔
a
2>
b
2＋
c
2.
【做一做】 1.从
A
处望
B
处的仰角为
α
，从
B
处望
A
处的俯角为
β
，则
α
，
β
的关系为(　　)
A．
α
＞
β
　　　B．
α
＝
β
C．
α
＋
β
＝90° D．
α
＋
β
＝180°
2.若点
A
在点
C
的北偏东 30°方向上，点
B
在点
C
的南偏东 60°方向上，且
AC
＝
BC
，则点
A
在点
B
的(　
)
A．北偏东 15°方向上　　　　 B．北偏西 15°方向上
C．北偏东 10°方向上 D．北偏西 10°方向上
（三）典型例题
1.测量距离问题
【例 1】 如图所示，隔河看两目标
A
，
B
，但不能到达，在岸边选取相距千米的
C
，
D
两点，并测得∠
ACB
＝
75°，∠
BCD
＝45°，∠
ADC
＝30°，∠
ADB
＝45°(
A
，
B
，
C
，
D
在同一平面内)，求两目标
A
，
B
之间的距离.
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