3.2.2 双曲线的简单几何性质-2020-2021学年高二数学重难点手册（圆锥曲线篇，人教A版2019选择性必修第一册）

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3.2.2 双曲线的简单几何性质

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双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

(a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0)

图形

性

质

范围 x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R

对称性对称轴：坐标轴

对称中心：原点

顶点顶点坐标：A1(－

a,0)，A2(a,0)

顶点坐标：A1(0，－

a)，A2(0，a)

渐近线

y＝±x y＝±x

离心率

e＝，e∈(1，＋∞)

a，b，c的关

系c2＝a2＋b2

实虚轴

线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；

线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；

a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一

支，具体是左支还是右支视情况而定．

设双曲线上的点 M到两焦点 F1，F2的距离之差的绝对值为 2a，则 0＜2a＜|F1F2|，这一条件不能忽

略．

①若2a＝|F1F2|，则点 M的轨迹是分别以 F1，F2为端点的两条射线；

②若2a＞|F1F2|，则点 M的轨迹不存在；

③若2a＝0，则点 M的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线.

[熟记常用结论]

1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.

2．若 P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为

实轴，其长为 2a.

4．若 P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则

S△PF1F2＝，其中 θ为∠F1PF2.

5．若 P是双曲线 (a＞0，b＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲

线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心 I的横坐标为定值 a.

6．等轴双曲线

(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．

(2)性质：① a＝b；② e＝；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到

两焦点距离的等比中项．

7．共轭双曲线

(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为

共轭双曲线．

(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于 1.

典例剖析

[考法全析]

考法(一)　求双曲线的离心率(或范围)

[例1]　(1)已知点 F是双曲线 (a＞0，b＞0)的左焦点，点 E是该双曲线的右顶点，过 F

作垂直于 x轴的直线与双曲线交于 A，B两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e的

取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)　　　　　　 B．(1,2)

C．(2,1＋) D．(1,1＋)

(2)设双曲线 C： (a＞0，b＞0)的左焦点为 F，直线 4x－3y＋20＝0过点 F且与双曲线 C

在第二象限的交点为 P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线 C的离心率为(　　)

A．5 B.

C. D.

【答案】B A

【解析】(1)若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在 Rt△AFE 中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，

则＜a＋c，即 b2＜a2＋ac，即 2a2－c2＋ac＞0，则 e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又 e＞1，则 1

＜e＜2，故选 B.

(2)根据直线 4x－3y＋20＝0与x轴的交点 F为(－5,0)，可知半焦距 c＝5，

设双曲线 C的右焦点为 F2，连接 PF2，根据|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，

△PFF2为直角三角形，

如图，过点 O作OA 垂直于直线 4x－3y＋20＝0，垂足为 A，则易知 OA 为

△PFF2的中位线，

又原点 O到直线 4x－3y＋20＝0的距离 d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝＝6，故

结合双曲线的定义可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以 a＝1，故 e＝＝5.

考法(二)　求双曲线的渐近线

[例2]　(2020·武汉调研)已知双曲线 C： (m＞0，n＞0)的离心率与椭圆

的离心率互为倒数，则双曲线 C的渐近线方程为(　　)

A．4x±3y＝0

B．3x±4y＝0

C．4x±3y＝0或3x±4y＝0

D．4x±5y＝0或5x±4y＝0

【答案】A

【解析】由题意知，椭圆中 a2＝25，b2＝16，∴椭圆的离心率 e＝＝，

∴双曲线的离心率为＝，∴ ，∴双曲线的渐近线方程为 y＝±x＝±x，即

4x±3y＝0.故选 A.

考法(三)　求双曲线的方程

[例3]　已知双曲线 (a＞0，b＞0)的左焦点为 F，离心率为 .若经过 F和P(0,4)两点

的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　)

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