1.4.2 空间向量研究距离、夹角问题(精讲)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)（原卷版）

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1.4.2 空间向量研究距离、夹角问题
一、点到直线的距离
已知直线 l的单位方向向量为 u，A是直线 l上的定点，P是直线 l外一点，设向量AP在直线 l
上的投影向量为AQ＝a，则点 P到直线 l的距离为 (如图)．
二、点到平面的距离
已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的任一点， 是平面 外一点，过点 作则平
面 的垂线 ，交平面 于点 ,则点 到平面 的距离为 （如图）.
注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。
直线
a
与平面
之间的距离：
| |
AB n
d
n

，其中
,A a B
 
，
n
是平面
的法向量。
两平行平面
,
 
之间的距离：
| |
AB n
d
n
，其中
,A B
 
 
，
n
是平面
的法向量。
三、异面直线所成角
若 分别为直线 的方向向量， 为直线 的夹角，则 .
四、直线与平面所成角
1、夹角定义：设 是直线 的方向向量,是平面 的法向量,直线与平面的夹角为 .则
.
2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤：
（1）建立适当的空间直角坐标系，
（2）求出两条异面直线的方向向量的坐标，
（3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角，
（4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角。
3、求两条异面直线所成角的两个关注点
（1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可
能为钝角。
（2）范围：异面直线所成角的范围是（0，），故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应
取其绝对值。
五、平面与平面的夹角
平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于 的二面
角称为这两个平面的夹角.
若 分别为平面 的法向量， 为平面 的夹角，则 .
题型一 求点到直线的距离
【例 1】已知点 P(5，3，6)，直线 l过点 A(2，3，1)，且一个方向向量为 ，则点 P
到直线 l的距离为( )
A． B． C． D．
【变式 1-1】在空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点为点 ，则点 到直线
的距离为（ ）
A． B． C． D．6
【变式 1-2】如图，在正三棱柱 中，若 ，则 C到直线 的距离为（
）
A． B． C． D．
【变式 1-3】如图，已知正方体 的棱长为 1，则线段 上的动点 P到直线
的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
1.4.2 空间向量研究距离、夹角问题(精讲)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)（原卷版）.docx

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