【新教材精创】1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（1）教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册

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1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关
系（1）
本节课选自《2019 人教 A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主
要学习运用空间向量解决线线、线面、面面的位置关系，主要是平行。
在向量坐标化的基础上，将空间中线线、线面、面面的位置关系，转化为向量语言，进而运用向量的
坐标表示，从而实现运用空间向量解决立体几何问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，
为培养学生思维提供了更广阔的空间。
课程目标 学科素养
A. 能用向量语言描述直线和平面,理解直
线的方向向量与平面的法向量.
B.能用向量语言表述直线与直线、直线与
平面、平面与平面的平行关系.
C.能用向量方法证明必修内容中有关直
线、平面平行关系的判定定理.
D.能用向量方法证明空间中直线、平面的
平行关系.
1.数学抽象：直线的方向向量与平面的法向量
2.逻辑推理：直线、平面平行关系的判定；
3.数学运算：空间向量的坐标运算解决直线、平面的
平行关系.
1.教学重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系
2.教学难点： 用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系
多媒体
教学过程 教学设计意图
核心素养目标
一、情境导学
牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝
。
在园
林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木
石、砖木、琉璃几种,多设于要道口
。
牌楼中有一种有柱门形构筑物,一般较
高大
。
如图,牌楼的柱子与地面是垂直
的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,
我们就能知道下边线与地面平行
。
这是
为什么呢?
二、探究新知
一、空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量
在空间中,我们取一定点 O作为基点,那么空间中任意一点 P就可
以用向量
⃗
OP
来表示.我们把向量
⃗
OP
称为点 P的位置向量.如图.
2.空间直线的向量表示式
如图①,a是直线 l的方向向量,在直线 l上取
⃗
AB
=a,设P是直线 l上的
任意一点,则点 P在直线 l上的充要条件是存在实数 t,使得
⃗
AP
=ta,即
⃗
AP
=t
⃗
AB
.如图②,取定空间中的任意一点 O,可以得到点 P在直线 l上
的充要条件是存在实数 t,使
+ta,
　
①
或
⃗
OP=
⃗
OA
+t
⃗
AB
.
　
②
① 式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线
由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
创 设 问 题 情
境，引导学生回顾
空间中线线、线
面、面面的位置关
系，并提出运用空
间向量解法立体几
何的问题，实现将
空间几何问题代数
化的基本思想
1.下列说法中正确的是(
　　
)
A.直线的方向向量是唯一的
B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
C.直线的方向向量有两个
D.平面的法向量是唯一的
答案:B　 解析:由平面法向量的定义可知,B 项正确.
　
3.空间平面的向量表示式
如图,取定空间任意一点 O,空间一点 P位于平面 ABC 内的充要条件
是存在实数 x,y,使
⃗
OP=
⃗
OA
+x
⃗
AB
+y
⃗
AC
.我们把这个式子称为空间平
面ABC 的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个
不共线向量唯一确定.
4.平面的法向量
如图,直线 l⊥α,取直线 l的方向向量 a,我们称向量 a为平面 α的法向
量.给定一个点 A和一个向量 a,那么过点 A,且以向量 a为法向量的平
面完全确定,可以表示为集合{P|a·
⃗
AP
=0}.
点睛：空间中,一个向量成为直线 l的方向向量,必须具备以下两个条
件:① 是非零向量;② 向量所在的直线与 l平行或重合.
2.若直线 l过点 A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线 l的一个方向向量可以是(
　
)
A.
(
- 1, 1
2,- 3
2
)
B.
(
- 1,- 1
2,3
2
)
C.
(
1 , 1
2,3
2
)
D.
(
-2
3,1
3,1
)
由 基 本 问 题 出
发，让学 生 感 受 到
空间向量语言与立
体几何的对 应 关
系，实现将立体几
何问题向量化。发
展学生逻辑推理，
数学抽象和数学运
算的核心素养。
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