高中数学专题09 对数与对数函数（重难点突破）解析版2020年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

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专题 09 对数与对数函数（重难点突破）
一、知识结构思维导图
二、学法指导与考点梳理
重难点一 对数的概念
如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么 x叫做以 a为底 N的对数，记作 x＝logaN，其中 a叫做对
数的底数，N叫做真数.
重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：① alogaN＝N；② logaab＝b(a>0，且 a≠1).
(2)对数的运算法则
如果 a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN； ② loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④ logamMn＝logaM(m，n∈R，且 m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于 1).
重难点三 对数函数及其性质
(1)概念：函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是
(0，＋∞).
1
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1 时，y>0；
当0<x<1 时，y<0
当x>1 时，y<0；
当0<x<1 时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
三、重难点题型突破
重难点 1 对数与对数式的化简求值
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM ＋ log aN；(2)loga＝logaM － log aN；(3)logaMn＝n log aM(n∈R)．
例1．（1）（2017·全国高一课时练习）已知 lg 9=a,10b=5，则用 a，b表示 log3645 为
．
【答案】
【解析】由已知得 ，则 ，
因为 ，所以 ，
即.
（2）. 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
【解析】　(1)要使函数有意义，需满足解得 x>2 且x≠3，
2
所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足解得－1<x<0 或0<x<4，
所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．
【变式训练】（1）．（2017·全国高一单元测试）已知 10m＝2，10n＝4，则 的值为(
)
A.2 B. C. D.2
【答案】B
【解析】 ＝ ＝ ＝ ＝ .答案：B
（2）．（2013·全国高一课时练习）已知 ，则 的值
为（ ）
A．B．4 C．1 D．4或1
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ， ， ,
解得 =1（舍去）， =4，故选 B.
重难点 2 对数函数的图像与性质
例2求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；
【解析】(1)要使函数 f(x)有意义，则 logx＋1>0，即 logx>－1，解得 0<x<2，即函数 f(x)的
定义域为(0,2)．
(2)函数式若有意义，需满足即解得－1<x<2，故函数的定义域为(－1,2)．
3
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