高中数学之平面向量解题技法全指导专题04 平面向量中的一题多解（解析版）

3.0 envi 2025-04-10 17 4 802.82KB 5 页 3知币
侵权投诉
专题 04 平面向量中的一题多解
平面向量中有比较多的一题多解，很好地掌握它们，能很好地开拓解题思路，使得做这部分题目更能得
心应手，更快更准确，还能提高解题能力。先结合实例展现如下：
例1．已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E是AB 边上的动点，则DE·CB的值为________，DE·DC的最大值
为________．
方法一（投影法）：设向量DE，DA的夹角为 θ，则DE·CB＝DE·DA＝|DE|·|DA|cosθ，由图可知，|DE|
cosθ＝|DA|，所以原式等于|DA|2＝1，要使DE·DC最大只要使向量DE在向量DC上的投影达到最大即可，因
为DE在向量DC上的投影达到最大为|DC|＝1，所以(DE·DC)max＝|DC|2＝1.
方法二（基底法）：因为DE＝DA＋AE且DA⊥AE，所以DE·CB＝(DA＋AE)·DA＝|DA|2＝1，DE·DC＝
(DA＋AE)·AB＝AB·AE＝|AB||AE|＝|AE|，所以要使DE·DC最大，只要|AE|最大即可，明显随着 E点在 AB 边
上移动|AE|max＝1，故(DE·DC)max＝1.
方法三（坐标法）：以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为 x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所
示，可知 E(x，1)，0≤x≤1，所以DE＝(x，1)，CB＝(0，1)，可得DE·CB＝x×0＋1×1＝1.因为DC＝
(1，0)，所以DE·DC＝x，因为 1≥x≥0，所以(DE·DC)max＝1.
点评：不少求数量积的题目既可用基底法也可用建系法，不好建立坐标系时一般用基底法，好建立坐标系
时，一般建系法比基底法要简洁些。
例 2.设 O 是⊿ABC 的内部一点，且有 ,则⊿ABC 的面积和⊿AOC 的面积之比为（
）
A.3 B。 C。2 D。
解法 1：设AC,BC 的中点分别为 M,N,则由 ，得
,即 ，∴M,O,N 三点共线，且 O为中位线 MN 上的一个三等分点，
.故选 A.
1
B
O
N
M
C
A
解法 2： ， .如图所示，以 所在的 OA,OD 为邻边作平
行四边形 OAED,,对角线 OE 交AC 于F. 由⊿OCF∽ AE⊿ F,得 ,
B
G
E
D
C
A
O
, .故选 A..
解法 3：作 ,则,所以点 O为⊿ 的重心。
, ,
以上三式相加得， .又 ， ,
即 。
点评：解法 1更简洁些，但它具有特殊性，解法 3麻烦些，但具有一般性。
例3.已知 是两个单位向量，且 。若点 C在∠AOB 内，且 ,
则 ，则
A. B.3 C. D.
2
高中数学之平面向量解题技法全指导专题04 平面向量中的一题多解（解析版）.docx

共5页,预览2页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：5 页 大小：802.82KB 格式：DOCX 时间：2025-04-10

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 5
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注