高中数学天津市红桥区2020-2021学年高一下学期期末数学试题 (解析版)

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天津市红桥区 2020-2021 学年高一下学期期末数学试题
一、单选题（共 9题；共 36 分）
1.i是虚数单位，计算
1−2i
2+i
的结果为（$$$ ）
A.
−i
B.iC.
−2i
D.
2i
2.已知向量
⃗
a=(1,2)
，
⃗
b=(−2, m)
，若
⃗
a/¿
⃗
b
，则实数 m的值为（$$$ ）
A.4 B.-4 C.1 D.-1
3.i 是虚数单位，若复数
，则 z的共轭复数
z=¿
（$$$ ）
A.
−2+i
 B.
−i
 C.
2−i
 D.
−2−i
4.为了了解全校 240 名高一学生的身高情况，从中抽取 40 名学生进行测量，下列说法正确的是（$$$
）
A.总体是 240 名学生$$$$$$$$$$$$$ B.个体是每一个学生$$$$$$$$$$$$$
C.样本是 40 名学生$$$$$$$$$$$$$ D.样本量是 40
5.已知向量
⃗
a=(3,−1,2),
⃗
b=(x , y ,−4)
,且
⃗
a/¿
⃗
b
，则
x+y=¿
（$$$ ）
A.4B.8C.-4D.-8
6.已知一组数据为 20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是（$$
）
A.平均数>中位数>众数$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
$$$$$ B.平均数<中位数<众数
C.中位数<众数<平均数$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
$$$$$ D.众数=中位数=平均数
7.已知向量
⃗
a=(1, x)
，
⃗
b=(−1, x)
，若
2
⃗
a−
⃗
b
与
⃗
b
垂直，则
¿
⃗
a∨¿
（ $$）
A.
√
2
 B.
√
3
 C.2 D.4
8.设
l
是直线，
α
，
β
是两个不同的平面，下列命题中正确的是（$$$ ）
A.若
l// α
，
l// β
，则
α// β
$
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$B.若
α⊥β
，
l⊥α
，则
l⊥β
C.若
α⊥β
，
l// α
，则
l⊥β
$
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$D.若
l// α
，
l⊥β
，则
α⊥β
9.长方体
ABCD−A1B1C1D1
的体积是 120，若 E为
C C1
的中点，则三棱锥
E−BCD
的体积为
（$$$ ）
A.10B.20C.30D.40
二、填空题（共 6题；共 24 分）
1
10.某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层
抽样方法抽取一个容量为 100 的样本，应抽取中型超市________家．
11.i 是虚数单位，若复数
(1−2i)(a+i)
是纯虚数，则实数
a
的值为________.
12.已知
¿
⃗
a∨¿3
，
¿
⃗
b∨¿2
，若
⃗
a⋅
⃗
b=−3
，则
⃗
a
与
⃗
b
夹角的大小为________．
13.在
△ABC
中，内角 A
，
B
，
C所对的边分别是 a
，
b
，
c
，
若
a2+c2−b2=
√
2ac
，则角 B
的大小为________
14.棱长为 1的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为________
15.已知菱形
ABCD
的边长为
2
，
∠BAD=120°
，点
E , F
分别在边
BC , DC
上，
BC=3BE
，
DC=λDF
.若
⃗
AE ⋅
⃗
AF=1
，则
λ
的值为________
三、解答题（共 4题；共 40 分）
16.在△ABC 中，内角 A
，
B
，
C所对的边分别是 a
，
b
，
c， 若
b=6, a=2c , B=π
3
.
（1）求 a
，
c的值；
（2）求△ABC 的面积
17.在锐角△ABC 中，内角 A
，
B
，
C所对的边分别是 a
，
b
，
c， 且
2asin B=
√
3b
.
（1）求角 A的大小：
（2）若
a=3
，△ABC 的面积为
4
√
3
3
，求△ABC 的周长.
18.四棱锥
S−ABCD
中，底面
ABCD
为矩形
SD⊥
底面
ABCD , DC =SD=2
，点 M是侧棱
SC
的中点，
AD=
√
2
.
（1）求异面直线
CD
与
BM
所成角的大小；
（2）求二面角
S−AM −B
的正弦值.
19.如图，四边形
ABCD
是正方形，
EA ⊥
平面
ABCD
，
EA /¿PD
，
AD=PD=2EA=2
，
F
，
G
，
H
分别为
PB
，
EB
，
PC
的中点.
2
（1）求证：
FG /¿
平面
PED
；
（2）求平面
FGH
与平面
PBC
所成锐二面角的大小；
（3）在线段
PC
上是否存在一点
M
，使直线
FM
与直线
PA
所成的角为
π
3
？若存在，求出线段
PM
的长；若不存在，请说明理由.
3
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