高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第一册) 专题08 函数的基本性质（知识精讲）（解析版）

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专题八函数的基本性质知识精讲

一知识结构图

内容考点关注点

函数的基本性质

函数的单调性单调性相对于区间而言

利用单调性解不等式函数的定义域

函数的奇偶性定义域关于原点对称

奇偶性、单调性的综合运用单调性的不同

二.学法指导

1.求函数单调区间的方法

(1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段

求解；

(2)利用函数的图象．

2. 利用定义证明函数单调性的步骤

1取值：设 x1，x2是该区间内的任意两个值，且 x1<x2.

2作差变形：作差 fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断

正负的式子.

3定号：确定 fx1－fx2的符号.

4结论：根据 fx1－fx2的符号及定义判断单调性.

3．函数的最大(小)值与单调性的关系

(1)若函数 f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则 f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是 f(a)，最大

(小)值是 f(b)．

(2)若函数 f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则 f(x)在区间[a，c]

上的最大(小)值是 f(b)，最小(大)值是 f(a)与f(c)中较小(大)的一个．

4.判断函数奇偶性的两种方法

(1)定义法：

(2)图象法：

5.利用奇偶性求参数的常见类型及策略

1定义域含参数：奇、偶函数 fx的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用 a＋b＝0

求参数.

2解析式含参数：根据 f－x＝－fx或f－x＝fx列式，比较系数即可求解.

6.利用函数奇偶性求解析式的方法

1 “  求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.

2 要利用已知区间的解析式进行代入.

3 利用 fx的奇偶性写出－fx或f－x，从而解出 fx.

7、解有关奇函数 fx的不等式 fa＋fb<0，先将 fa＋fb<0 变形为 fa<－fb＝f－b，再利用

fx的单调性去掉“f”，化为关于 a，b的不等式.另外，要特别注意函数的定义域.,由于偶函数在关

于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质 fx＝f|x|＝f－|x|将fgx

中的 gx全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号 f，使不等式得解.

三.知识点贯通

知识点 1 函数的单调区间

如果函数 y＝f(x)在区间 D上单调递增或单调递减，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格

的)单调性，区间 D叫做 y＝f(x)的单调区间．

例1.求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．

(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝

(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.

【解析】(1)函数 f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都

是增函数．

(2)当x≥1 时，f(x)是增函数，当 x<1 时，f(x)是减函数，所以 f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，

＋∞)，并且函数 f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．

(3)因为 f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝

根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，

函数 f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．

f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．

知识点二函数单调性的判断与证明

1.增函数与减函数的定义

条件

一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2时

都有 f ( x 1) ＜ f ( x 2)都有 f ( x 1) ＞ f ( x 2)

结论那么就说函数 f(x)在区间 D上是增函数那么就说函数 f(x)在区间 D上

是减函数

图示

例题 2：试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．

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