高一数学新教材同步课堂精讲练导学案9.2.4 总体离散程度的估计（解析版）

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9.2.4 总体离散程度的估计

导学案

编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波

【学习目标】

1.会用样本的极差、方差与标准差估计总体

2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)

3.理解离散程度参数的统计含义

【自主学习】

知识点 1 方差、标准差的定义

一组数据 x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，

则这组数据的方差为＝（－），

标准差为 .

知识点 2 总体方差、总体标准差的定义

如果总体中所有个体的变量值分别为 Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称 S2＝

为总体方差，S＝为总体标准差．

如果总体的 N个变量值中，不同的值共有 k(k≤N)个，记为 Y1，Y2，…，Yk，其中 Yi出现的

频数为 fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为 S2＝.

知识点 3 样本方差、样本标准差的定义

如果一个样本中个体的变量值分别为 y1，y2，…，yn，样本平均数为，

则称

为样本方差，s＝为样本标准差．

知识点 4 方差、标准差特征

标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标

准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但

在解决实际问题中，一般多采用标准差．

【合作探究】

探究一标准差与方差的应用

【例 1】甲、乙两机床同时加工直径为 100 mm 的零件，为检验质量，各从中抽取 6件测量，

数据为：

甲：99　100　98　100　100　103

乙：99　100　102　99　100　100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．

【答案】　(1)甲＝100，乙＝100.s＝，s＝1.

(2)乙机床加工零件的质量更稳定.

【解析】　(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.

s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]

＝，

s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又 s>s，所以乙机床加工零件的质量更

稳定.

归纳总结：在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数

据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动

性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高

【练习 1】为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的

同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下．

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