专题19 立体几何中的判断（解析版）

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专题 19 立体几何中的判断

[高考定位]高考对本讲内容以选择题、填空题的形式考查时，要求学生能利用平面的基本性质及线线、线

面和面面位置关系的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题；以解答题的形式考查时，多以棱柱

、棱锥、棱台或简单组合体为载体对线线、线面与面面平行和垂直的判定与性质进行考查，难度中等．

考点一　空间线面位置关系的判断

[核心提炼]

空间线面位置关系判断的常用方法

(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理解决．

(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进

行判断

[规律方法] 　判断空间线面位置关系应注意的问题

解决空间点、线、面位置关系的判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空

间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模

型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能引用到立体几何中．

[核心提炼]

1．直线、平面平行的判定及其性质

(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.

(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.

(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.

(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.

2．直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.

(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.

(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

[规律方法]　线面平行及线面垂直的证明方法

(1)要证线面平行，主要有两个途径：一是证已知直线与平面内的某直线平行；二是证过已知直线的平面与

已知平面平行．在这里，转化思想在平行关系上起着重要的作用，在寻求平行关系时，利用中位线、平行

四边形等是非常常见的方法．

(2)要证线面垂直，关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直，即线线垂直⇒线面垂直．结

合图形还要注意一些隐含的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线以及经计算得出的垂直关

系等．

考点三　空间几何图形的翻折问题

[核心提炼]　解决与折叠有关的问题的两个关键

(1)要明确折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化．

(2)在解决问题时，要比较折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．

[规律方法]

立体几何中的翻折问题通常有一定的难度，在解题时，要注意翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有

发生变化．在本题中，原菱形 ABCD 的性质(即对角线互相垂直)要充分利用，还要通过计算，借助勾股定

理的逆定理证明垂直，这就要求必须弄清翻折前后线段之间的关系，这也是破解此题的关键．

【题型汇总】

一．与球有关的判断．

二．平行垂直判断

三．利用基本定理进行判断

四．翻折问题中的判断

五．空间角的判断

六．空间距离的判断

七．空间中的最值问题

【方法规律示例】

一．与球有关的判断．

例1.已知在矩形

ABCD

中，

4AB 

，

3BC 

，将矩形

ABCD

沿对角线

折成大小为



的二面角

B AC D 

，若折成的四面体

ABCD

内接于球

，则下列说法正确的是（）

A．四面体

ABCD

的体积的最大值是

B．球心

为线段

的中点

C．球

的表面积随



的变化而变化 D．球

的表面积为定值



【答案】ABD

【解析】如图

，

当平面

ACD 

平面

ABC

时，四面体

ABCD

的体积的最大，最大值为

1 1 3 4 24

3 4

3 2 5 5



    

，故 A正

确；

由题意得，在四面体

ABCD

内

的中点

到点

、

的距离相等，且大小为

2 2

AC 

，所以

点

为外接球的球心，且球的半径

2 2

R 

，表面积

4 4 25

S R

  

 

   

 

 

为定值，故 BD 正

确，C错误；

故选：ABD

练习 1.如图，矩形

ABCD

，

为

的中点，将

ABM

沿直线

翻折成

AB M

，连接

B D

，

为

B D

的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）

A．存在某个位置，使得

CN AB;

B．翻折过程中，

的长是定值

C．若

AB BM

，则

AM B D

；

D．若

1AB BM 

，当三棱锥

B AMD

的体积最大时，三棱锥

B AMD

的外接球的表面积是



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