专题18几何变式探究和类比变换综合类问题（原卷版）【苏科版】

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2020 年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】
专题 18 几何变式探究和类比变换综合类问题
【方法指导】
图形的类比变换是近年来中考的常考点，常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形
全等或相似的性质与判定，难度较大．此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行
类比解答．根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等．
解决此类问题要善于将复杂图象分解为几个基本图形，通过添加副主席补全或构造基本图形，借助转化、
方程、数形结合、分类讨论等数学思想解决几何证明问题，计算则把几何与代数知识综合起来，渗透数形
结合思想，考查学生分析问题的能力、逻辑思维和推理能力.
【题型剖析】
【类型 1】几何类比变换综合题
【例 1】（2018 秋•盐都区期中）【阅读理解】
截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相
等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．
（1）如图 1， 是等边三角形，点 是边 下方一点， ，探索线段 、 、 之
间的数量关系．
解题思路：延长 到点 ，使 ，连接 ，根据 ，可证 易
证得 ，得出 是等边三角形，所以 ，从而探寻线段 、 、 之间的
数量关系．
根据上述解题思路，请直接写出 、 、 之间的数量关系是____；
【拓展延伸】
（2）如图 2，在 中， ， ．若点 是边 下方一点， ，探索线
段 、 、 之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
（3）如图 3，两块斜边长都为 的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的
距离 的长分别为____ ．
1
【变式 1-1】（2019•亭湖区二模）【阅读材料】
小明遇到这样一个问题：如图 1，点 在等边三角形 内，且 ， ， ，求
的长．
小明发现，以 为边作等边三角形 ，连接 ，得到 ；由等边三角形的性质，可证
，得 ；由已知 ，可知 的大小，进而可求得 的长．
（1）请回答：在图 1中， ________ ，____．
【问题解决】
（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：
如图 2， 中， ， ，点 在 内，且 ， ， ，求
的长．
【灵活运用】
（3）如图 3，在 中， ， ，且 ， 点 在 外，且 ，
，直接写出 长的最大值．
【变式 1-2】（2018•亭湖区二模）如图，在等腰 与等腰 中， ．
（1）连接 ， （如图①，请直接写出线段 ， 的数量关系____；
（2）在（1）的基础上，延长 交 于点 ，连接 （如图②，试探究线段 ， ， 的数量
关系，并证明你的结论；
2
（3）连接 ，取 的中点 ，连接 （如图③，若 ， ， ，求 的长．
【类型 2】几何旋转变换综合题
【例 2】（2019•海州区一 模）如 图 1，将两个完全 相同的三角形 纸片 和 重合放置， 其中
， ．
（1）操作发现：
如图 2，固定 ，使 绕点 旋转，当点 恰好落在 边上时，填空：
①线段 与 的位置关系是____；
②设 的面积为 ， 的面积为 ，则 与 的数量关系是____．
（2）猜想论证：
当 绕点 旋转到如图 3所示的位置时，小明猜想（1）中 与 的数量关系仍然成立，并尝试分别
作出了 和 中 、 边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知 ，点 是角平分线上一点， ， 交 于点 （如图 ，若在射线
上存在点 ，使 ，请求出相应的 的长．
3
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