专题18 秒杀外接球内切球的解题方法（原卷版）

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专题 18 秒杀外接球内切球的解题方法
[高考定位]高考对本讲内容主要考查空间几何体的展开图、表面积和体积的计算等．试题的题型主要是选
择题和填空题，对表面积与体积也可能在解答题中设置一问，在难度上有所控制，基本上都是中等难度或
者较易的试题．空间几何体与球的切、接问题也是高考的重点，难度较大．
与球有关的切、接问题
[核心提炼]
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确
定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．例如：球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，
正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的
直径．
1. 球的表面积为 S=4πR2
2. 球的体积为 V＝πR3
[规律方法]
多面体、旋转体与球接、切问题的求解策略
(1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题．
(2)利用平面几何知识寻找几何体元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，
弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
(3)若球面上 4点P，A，B，C构成的 3条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA＝a，PB＝b，PC＝c，一
般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，用 4R2＝a2＋b2＋c2求解．
【题型汇总】
一．球的性质应用
二．最值问题
三．球直径灵活应用
四．球与其它几何体的综合
五．球定义的灵活应用
六．多面体放球中的解题策略
七．球的截面问题
八．内切球问题
九．翻折问题与球
【题型解法】
1
一．球的性质应用
例1．已知三棱锥
S ABC
的顶点都在球
O
的球面上，
ABC
是边长为
6
的正三角形，
SC
为球
O
的直
径，且
8SC
，则此三棱锥的体积为( )
A．
B．
C．
12 3
D．
16 3
练习 1．已知三棱锥
O ABC
中，
A
，
B
，
C
三点在以
O
为球心的球面上，若
2AB BC 
，
120ABC  
，且三棱锥
O ABC
的体积为
3
，则球
O
的表面积为（ ）
A．
32
3
B．
16
C．
52
D．
64π
练习 2．已知三棱锥 P-ABC 中，PA=4，AB=AC=2
3
，BC=6，PA⊥面 ABC，则此三棱锥的外接球的表面
积为（　　）
A．
16π
B．
32π
C．
64π
D．
128π
二．最值问题
例2．已知三棱锥
P ABC
的顶点都在半径为
5
3
的球面上，
1AB
，
3BC
，
2AC
，则三棱锥
P ABC
体积的最大值为（ ）
A．
3
2
B．
1
C．
3
D．
5 3
18
练习 1．在三棱锥
P ABC
中，
PA
底面
ABC
，
, 6, 8AB AC AB AC  
，
D
是线段
AC
上一点，且
2
3AD DC
.三棱锥
P ABC
的各个顶点都在球
O
表面上，过点
D
作球
O
的截面，若所得截面圆的面积
的最大值与最小值之差为
16
，则球
O
的表面积为（ ）
A．
72π
B．
86
C．
112
D．
128
练习 2．已知
ABC
的三个顶点落在半径为
R
的球
O
的表面上，三角形有一个角为
3
且其对边长为 3，球
心
O
到
ABC
所在的平面的距离恰好等于半径
R
的一半，点
P
为球面上任意一点，则
P ABC
三棱锥的
体积的最大值为（ ）
A．
8 3
3
B．
7 3
3
C．
9 3
4
D．
7 3
4
三．球直径灵活应用
例3．已知三棱锥
S ABC
的所有顶点都在球
O
的求面上，
ABC
是边长为
1
的正三角形，
SC
为球
O
的
直径，且
2SC
，则此棱锥的体积为（ ）
A．
2
6
B．
3
6
C．
2
3
D．
2
2
四．球与其它几何体的综合
例4．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内
注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
3
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