专题18 秒杀外接球内切球的解题方法（解析版）

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专题 18 秒杀外接球内切球的解题方法
[高考定位]高考对本讲内容主要考查空间几何体的展开图、表面积和体积的计算等．试题的题型主要是选
择题和填空题，对表面积与体积也可能在解答题中设置一问，在难度上有所控制，基本上都是中等难度或
者较易的试题．空间几何体与球的切、接问题也是高考的重点，难度较大．
与球有关的切、接问题
[核心提炼]
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确
定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．例如：球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，
正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的
直径．
1. 球的表面积为 S=4πR2
2. 球的体积为 V＝πR3
[规律方法]
多面体、旋转体与球接、切问题的求解策略
(1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题．
(2)利用平面几何知识寻找几何体元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，
弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
(3)若球面上 4点P，A，B，C构成的 3条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA＝a，PB＝b，PC＝c，一
般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，用 4R2＝a2＋b2＋c2求解．
【题型汇总】
一．球的性质应用
二．最值问题
三．球直径灵活应用
四．球与其它几何体的综合
五．球定义的灵活应用
六．多面体放球中的解题策略
七．球的截面问题
八．内切球问题
九．翻折问题与球
【题型解法】
1
一．球的性质应用
例1．已知三棱锥
S ABC
的顶点都在球
O
的球面上，
ABC
是边长为
6
的正三角形，
SC
为球
O
的直
径，且
8SC
，则此三棱锥的体积为( )
A．
B．
C．
12 3
D．
16 3
【答案】C
【解析】因为△ABC 是边长为 6的正三角形,所以△ABC 外接圆的半径 r=
，
SC
为球
O
的直径，且
8SC
，球
O
半径 R=4，
所以点 O到平面 ABC 的距离
 
2
2 2 2
4 2 3 2d R r  
，
SC 为球 O的直径,点S到平面 ABC 的距离为 2d=4，
此棱锥的体积为
1 1 1 3
2 6 6 4 12 3
3 3 2 2
ABC
V S d   
V
，
故选 C.
练习 1．已知三棱锥
O ABC
中，
A
，
B
，
C
三点在以
O
为球心的球面上，若
2AB BC 
，
120ABC  
，且三棱锥
O ABC
的体积为
3
，则球
O
的表面积为（ ）
A．
32
3
B．
16
C．
52
D．
64π
【答案】C
【解析】由题意
2AB BC 
，
ABC
1
120 = | || | sin 3
2
ABC S AB BC ABC
   ，
13 3
3
O ABC ABC
V S h h
 
 
.
2
又
ABC
的外接圆的半径
22
2sin 2sin 30
o
AB
rC
 
因此球
O
的半径
2 2
2 3 13R  
球的表面积：
2
4 52S R
 
 
.
故选：C
练习 2．已知三棱锥 P-ABC 中，PA=4，AB=AC=2
3
，BC=6，PA⊥面 ABC，则此三棱锥的外接球的表面
积为（　　）
A．
16π
B．
32π
C．
64π
D．
128π
【答案】C
【解析】∵底面
ABC
中，
2AB AC 
，
6BC
，
1
cos 2
BAC  
3
sin 2
BAC 
，
ABC
的外接圆半径
1 6
2 3
23
2
r 
，
PA
面
ABC
三棱锥外接球的半径
 
22
2 2 2
2 3 2 16
2
PA
R r  
 
 
 
，
所以三棱锥
P ABC
外接球的表面积
2
4 64S R
 
 
．
故选 C．
3
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