专题18 建立坐标系“形题数解”（原卷版）
专题 18 建立坐标系“形题数解”
【压轴综述】
1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可
以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，
数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规
范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确
地阐明曲线的几何性质．
2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则
解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的
性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．
（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数
问题进行几何分析容易出错．
（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可
行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐
含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次
曲线．
3．所谓“形题数解”，主要是考虑遇到“形”的问题，可以通过建立坐标系，建立坐
标关系式，利用函数观点解题；也可以直接利用几何元素的关系，通过给出假设量，建立
函数关系，利用函数观点或利用不等式求解.
本专题通过例题重点说明说明“形题数解”这类问题的方法与技巧.
【压轴典例】
例 1.(2020·全国卷
Ⅰ
高考理科·T18)如图,
D
为圆锥的顶点,
O
是圆锥底面的圆心,
AE
为底
面直径,
AE
=
AD.
△
ABC
是底面的内接正三角形,
P
为
DO
上一点,
PO
=
DO.
(1)证明:
PA
⊥平面
PBC
;(2)求二面角
B
-
PC
-
E
的余弦值
.
例 2.(2020·江苏高考·T18)在平面直角坐标系
xOy
中,若椭圆
E
:+=1 的左、右焦点分
别为
F
1,
F
2,点
A
在椭圆
E
上且在第一象限内,
AF
2⊥
F
1
F
2,直线
AF
1与椭圆
E
相交于另一点
B.
1
(1)求△
AF
1
F
2的周长;
(2)在
x
轴上任取一点
P
,直线
AP
与椭圆
E
的右准线相交于点
Q
,求 · 的最小值;
(3)设点
M
在椭圆
E
上,记△
OAB
与△
MAB
的面积分别是
S
1,
S
2,若
S
2=3
S
1,求
M
的坐标
.
例3.(2020·全国卷
Ⅲ
理科·T19)如图,在长方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1中,点
E
,
F
分别在棱
DD
1,
BB
1
上,且2
DE
=
ED
1,
BF
=2
FB
1
.
(1)证明:点
C
1在平面
AEF
内;
(2)若
AB
=2,
AD
=1,
AA
1=3,求二面角
A
-
EF
-
A
1的正弦值
.
例4.(2020·新高考全国
Ⅰ
卷)如图,四棱锥
P
-
ABCD
的底面为正方形,
PD
⊥底面
ABCD
,设平面
PAD
与平面
PBC
的交线为
l.
(1)证明:
l
⊥平面
PDC
;
(2)已知
PD
=
AD
=1,
Q
为
l
上的点,求
PB
与平面
QCD
所成角的正弦值的最大值
.
例5. （2019·全国高考真题）已知三棱锥
P
-
ABC
的四个顶点在球
O
的球面上，
PA
=
PB
=
PC
，△
ABC
是边长为 2 的正三角形，
E
，
F
分别是
PA
，
AB
的中点，∠
CEF
=90°，则球
O
的体积为（ ）
A．
8 6
B．
4 6
C．
2 6
D．
6
例6．（2020 北京高三模拟）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC＝60°，E，F分别是边
2
AB，CD 的中点，现将△ABC 沿着对角线 AC 翻折，则直线 EF 与平面ACD 所成角的正切
值最大值为( )
A．
2
B．
21
3
C．
3
3
D．
2
2
例7. （2019·北京高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线
C
：
2 2
1 | |x y x y
就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线
C
恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线
C
上任意一点到原点的距离都不超过
2
；
③曲线
C
所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是
A．①B．②C．①② D．①②③
例 8.（福建省泉州市 2020 届高三）类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的
概念.已知球 的一个内接四面体 中， ， 过球心 ，若该四面体的体积为
1，且，则球的表面积的最小值为______.
3
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