专题18 建立坐标系“形题数解”（解析版）

专题 18 建立坐标系“形题数解”

【压轴综述】

1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可

以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，

数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规

范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确

地阐明曲线的几何性质．

2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则

解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的

性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．

（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数

问题进行几何分析容易出错．

（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可

行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐

含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次

曲线．

3．所谓“形题数解”，主要是考虑遇到“形”的问题，可以通过建立坐标系，建立坐

标关系式，利用函数观点解题；也可以直接利用几何元素的关系，通过给出假设量，建立

函数关系，利用函数观点或利用不等式求解.

本专题通过例题重点说明说明“形题数解”这类问题的方法与技巧.

【压轴典例】

例 1.(2020·全国卷

Ⅰ

高考理科·T18)如图,

D

为圆锥的顶点,

O

是圆锥底面的圆心,

AE

为底

面直径,

AE

=

AD.

△

ABC

是底面的内接正三角形,

P

为

DO

上一点,

PO

=

DO.

(1)证明:

PA

⊥平面

PBC

;(2)求二面角

B

-

PC

-

E

的余弦值

.

【解析】(1)设

DO

=

a

,由题设可得

PO

=

a

,

AO

=

a

,

AB

=

a

,

PA

=

PB

=

PC

=

a.

因此

PA

2+

PB

2=

AB

2,从而

PA

⊥

PB.

又

PA

2+

PC

2=

AC

2,从而

PA

⊥

PC.

所以

PA

⊥平面

PBC.

1

(2)以

O

为坐标原点, 的方向为

y

轴正方向, 为单位长,建立如图所示的空间直角

坐标系

O

-

xyz.

由题设得

E

(0,1,0),

A

(0,-1,0),

C

,

P .

所以 = , =

.

设

m

=(

x

,

y

,

z

)是平面

PCE

的法向量,则 ,即 ,可取

m

=

.

由(1)知= 是平面

PCB

的一个法向量,记

n

= ,则 cos<

n

,

m

>= =

.

所以二面角

B

-

PC

-

E

的余弦值为

.

例 2.(2020·江苏高考·T18)在平面直角坐标系

xOy

中,若椭圆

E

:+=1 的左、右焦点分

别为

F

1,

F

2,点

A

在椭圆

E

上且在第一象限内,

AF

2⊥

F

1

F

2,直线

AF

1与椭圆

E

相交于另一点

B.

(1)求△

AF

1

F

2的周长;

(2)在

x

轴上任取一点

P

,直线

AP

与椭圆

E

的右准线相交于点

Q

,求 · 的最小值;

(3)设点

M

在椭圆

E

上,记△

OAB

与△

MAB

的面积分别是

S

1,

S

2,若

S

2=3

S

1,求

M

的坐标

.

【解析】(1)△

AF

1

F

2的周长=2

a

+2

c

=6

.

2

(2)由椭圆方程得

A

,设点

P

(

t

,0),则直线

AP

方程为

y

= (

x

-

t

),令

x

= =4 得

yQ

= =

,即

Q

, = , · =

t

2-4

t

=(

t

-2)2-4≥-4,即 · 的最小

值为-4

.

(3)设

O

到直线

AB

的距离为

d

1,

M

到直线

AB

的距离为

d

2,若

S

2=3

S

1,则 ×|

AB

|×

d

2=×|

AB

|

×

d

1×3,即

d

2=3

d

1,由题意可得直线

AB

的方程为

y

= (

x

+1),即 3

x

-4

y

+3=0,所以

d

1= ,

d

2=

.

由

题意得,

M

点应为与直线

AB

平行且距离为的直线与椭圆的交点,设平行于

AB

的直线

l

为3

x

-

4

y

+

m

=0,与直线

AB

的距离为 ,所以 = ,即

m

=-6 或 12

.

当

m

=-6 时,直线

l

为3

x

-4

y

-6=0,即

y

= (

x

-2),联立 ,可得(

x

-2)(7

x

+2)=0,

即 ,或 ,所以

M

(2,0)或

.

当

m

=12 时,直线

l

为3

x

-4

y

+12=0,即

y

= (

x

+4),联立 ,可得

x

2+18

x

+24=0,

Δ

<0,所以无解

.

综上所述,

M

点坐标为(2,0)或

.

例3.(2020·全国卷

Ⅲ

理科·T19)如图,在长方体

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中,点

E

,

F

分别在棱

DD

1,

BB

1

上,且2

DE

=

ED

1,

BF

=2

FB

1

.

3

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