专题12 导数的综合应用（原卷版）

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专题 12 导数的综合应用

[高考定位] 高考中考查导数几何意义的题目多以选择题、填空题的形式出现，有时出现在解答题的第一问，

难度较小．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，题目多出现在选择

题、填空题的后几题中，有时也出现在解答题中，难度中等．

考点一　导数的几何意义及定积分

[核心提炼]

1．导数的几何意义

函数 f(x)在x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线 f(x)在点 P处的切线的斜率 k＝f′

(x0)，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

2．4个易出错的导数公式

(1)(sin x)′＝cos x.

(2)(cos x)′＝－sin x.

(3)(ax)′＝axln a(a＞0，且 a≠1)．

(4)(logax)′＝(a＞0，且 a≠1，x＞0)．

[规律方法]

　曲线 y＝f(x)的切线方程的 3种类型及求解方法

(1)已知切点 P(x0，y0)，求切线方程：

求出切线的斜率 f′(x0)，由点斜式写出方程．

(2)已知切线的斜率 k，求切线方程：

设切点 P(x0，y0)，通过方程 k＝f′(x0)解得 x0，再由点斜式写出方程．

(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程：

设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由

点斜式或两点式写出方程．

考点二　利用导数研究函数的单调性

[核心提炼]

　导数与函数单调性的关系

(1)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但 f′(x)≥0.

(2)f′(x)≥0 是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有 f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数

不具有单调性．

[规律方法]

　求解或讨论函数单调性问题的解题策略

讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为讨论含有参数

的一元二次不等式的解集：

(1)若能够通过因式分解求出不等式对应方程的根，则依据根的大小进行分类讨论．

(2)若不能通过因式分解求出不等式对应方程的根，则根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．

[注意] 讨论函数的单调性需在函数的定义域内进行，千万不要忽视了定义域的限制．

考点三　利用导数研究函数的极值(最值)

[核心提炼]

导数与函数的极值、最值的关系

(1)若在 x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，则 f(x0)为函数 f(x)的极大值；若在 x0附近的左侧 f′(x)<0，右侧

f′(x)>0，则 f(x0)为函数 f(x)的极小值．

(2)设函数 y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，且在极值点或

端点处取得.

[规律方法]

利用导数研究函数极值、最值的方法

(1)若求极值，则先求方程 f′(x)＝0的根，再检查 f′(x)在方程根的左右函数值的符号．

(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．

(3)求函数 f(x)在闭区间[a，b]的最值时，先求出极值，再将区间端点的函数值 f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行

比较得到函数的最值．

【题型】

一、多变量的解题策略

二．极值点偏移的解题方法

三．零点判断与参数

四．与共存的解题方法

五．的替代

六．多次求导的灵活应用

七．导数与不等式的综合

八．导数与放缩法

【方法规律总结】

一、多变量的解题策略

例1.已知函数

   

ln 0f x a x a 

与

y x



的图象在它们的交点

 

,P s t

处具有相同的切线.

（1）求

 

f x

的解析式；

（2）若函数

     

1g x x mf x  

有两个极值点

，

，且

1 2

x x

，求

 

g x

的取值范围.

练习 1．已知函数

2 2

( ) 2 ln ( 0)

f x ax x a x a   

(1)讨论

( )f x

的单调性；

(2)当

a

时，设

( )f x

的两个极值点为

，

，证明:

1 2

1 2 1 2

( ) ( ) 1 1

f x f x

x x x x



＜

练习 2．已知函数

   

ln , 1f x x ax g x ax   

，其中

为自然对数的底数.

（1）讨论函数

 

f x

在区间

 

1,e

上的单调性；

（2）已知

 

0,a e

，若对任意

 

1 2

, 1,x x e

，有

   

1 2

f x g x

，求实数

的取值范围.

二．极值点偏移的解题方法

例2.已知函数

 

f x x ae  

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