专题11相似三角形及锐角三角函数问题（原卷版）【苏科版】

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2020 年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】
专题 11 相似三角形及锐角三角函数问题
【方法指导】
1.判定三角形相似的思路：
① 条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；
② 条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；
③ 条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；
④ 条件中若有 一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；
⑤ 条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.
2.相似的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形 ，可以迅速找 到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个
三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.
3.锐角三角函数的应用问题：
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题 的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得 到问题的解．
【题型剖析】
【类型 1】平行线分线段成比例定理
【例 1】（2019•淮安）如图， ，直线 、 与 、 、 分别相交于点 、 、 和点 、 、
．若 ， ， ，则 　　．
1
【变式 1-1】（2019 秋•淮阴区期中）如图，已知 ， ， ， ，则 的值
　　
A．B．C．D．1
【 变 式 1-2 】 （ 2019 秋• 高 新 区 模 拟） 如 图 ， 在 中 ， 、 分 别 在 、 上 ， ，
交 于 ，那么下列比例式中正确的是 　　
A．B．C．D．
【类型 2】相似三角形的性质
【例 2】（2019•丹阳市模拟）如图， 为 斜边中点， ， ， ， 在 边上，
，若 与 相似，则 　．
2
【变式 2-1】（2018 秋•兴化市期末）已知 ，顶点 、 、 分别与 、 、 对应，若
， 的周长是 ，则 的周长是　 　 ．
【变式 2-2】（2018 秋•梁溪区校级月考）如图，已知 是面积为 的等边三角形， ，
， ， 与 相交于点 ，则点 到线段 的距离等于（结果保留根号）
．
【变式 2-3】（2019 秋•秦淮区校级月考）如图， ， ， ， ，在边 上
取点 ，使得 与 相似，则满足条件的 长为 　 ．
【类型 3】位似变换
【例 3】（2019•镇江模拟）在平面直角坐标系中，以点 为位似中心，把图形 按相似比 放大
得到图形 （即所得图形与原图形的相似比为 ， 在图形 上，则图形 上与点 对应的点的坐
标为_ ______ ．
【变式 3-1】．（2019•兴化市模拟）如图， 与 位似，点 位似中心，且 ，则
．
3
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