专题11.7 二项分布、正态分布 2021年新高考数学一轮复习讲练测（讲）解析版

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专题 11.7 二项分布、正态分布

【考纲解读与核心素养】

1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解 n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的

实际问题.

2．正态分布

(1)通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正

态分布的特征．

(2)了解正态分布的均值、方差及其含义..

3．培养学生的数学运算、逻辑推理、数据分析等核心数学素养.

4. 高考预测：

（1）考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质；

（2）考查条件概率、二项分布及其应用、n 次独立重复试验的模型及其应用.

（3）二项分布的分布列及其概率分布往往与离散型随机变量的数字特征结合命题．

（4）正态分布的图像和性质

5.备考重点：

(1) 掌握取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质；

(2) 掌握二项分布、n 次独立重复试验的模型及其应用计算方法. 二项分布的均值与方差

（3）均值与方差在决策中的应用

（4）正态分布及其应用

【知识清单】

知识点 1. 条件概率

条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件

和

，在已知事件

发生的条件下，事件

发生的概率叫做条件概率，用符号

 

/p B A

来表示，其公式为

   

 

/p AB

p B A P A



在古典概型中，若用

 

n A

表示事件

中基本事件的个数，则

   

 

/n AB

p B A n A



(2)条件概率具有的性质：

①

 

0 / 1p B A 

；

② 如果

和

是两互斥事件，则

     

/ / /p B C A p B A p C A 

．

知识点 2. 相互独立事件同时发生的概率

(1)对于事件

、

，若

的发生与

的发生互不影响，则称

、

是相互独立事件．

(2)若

与

相互独立，则

   

/p B A p B

，

         

/p AB p B A P A P A P B   

．

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(3)若

与

相互独立，则

与

，

与

，

与

也都相互独立．

(4)若

     

p AB P A P B 

，则

与

相互独立．

知识点 3. 独立重复试验的概率

1．

次独立重复试验

(1)定义

一般地，在相同条件下重复地做 n次试验，各次试验的结果相互独立，称为 n次独立重复试验．

(2)公式

一般地，在 n次独立重复试验中，设事件 A发生的次数为 X，在每次试验中事件 A发生的概率为 p，那么在

n次独立重复试验中，事件 A恰好发生 k次的概率为 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，(k＝0,1,2，…，n)．

知识点 4. 二项分布

1.若将事件 A发生的次数设为 X，发生的概率为 P，不发生的概率 q＝1－p，那么在 n次独立重复试验中，

事件 A恰好发生 k次的概率是 P(X＝k)＝Cpkqn－k(k＝0,1,2，…，n)

于是得到 X的分布列

X0 1 …k…n

PCp0qnCp1qn－1…Cpkqn－k…Cpnq0

由于表中第二行恰好是二项式展开式

(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量 X服从参数为

n，p的二项分布，记作 X～B(n，p)．

2.二项分布的期望、方差：

若

 

,X B n p

，则

 

E X np

若

 

,X B n p

，则

   

1D X np p 

．

知识点 5. 正态分布

1．正态曲线及其性质

(1)正态曲线：

函数 φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ，σ(σ>0)为参数，我们称 φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲

线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的性质：

① 曲线位于 x轴上方，与 x轴不相交；

② 曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称；

③ 曲线在 x＝μ处达到峰值；

④ 曲线与 x轴之间的面积为 1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由 μ确定，曲线随着 μ的变化而沿 x轴平移，如图甲所示；

⑥当μ一定时，曲线的形状由 σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦

高”．总体分布越集中，如图乙所示：

3 / 27

甲　　　　　　　　　　　乙

2．正态分布

一般地，如果对于任何实数 a，b(a<b)，随机变量 X满足 P(a<X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量 X服从正态

分布(normal distribution)．正态分布完全由参数 μ和σ确定，因此正态分布常记作 N(μ，σ2)．如果随机变量

X服从正态分布，则记为 X～N(μ，σ2)．

3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值

①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；

②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；

③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974．

4．3

原则

通常服从正态分布 N(μ，σ2)的随机变量 X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．

【典例剖析】

高频考点一：条件概率

【典例 1】（2019·广东高二期末）从 1，2，3，4，5 中任取两个不同的数，事件

表示“取到的两数之

和为偶数”，事件

表示“取到的较大的数为奇数”，则

P( | )B A 

（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

事件

A

“取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：

(1,3)

、

(1,5)

、

(3,5)

、

(2, 4)

，

n

（A）=4，

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