专题11.6 离散型随机变量的均值与方差 2021年新高考数学一轮复习讲练测（讲）解析版

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专题 11.6 离散型随机变量的均值与方差

【考纲解读与核心素养】

1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决

一些实际问题.

2．培养学生的数学运算、逻辑推理、数据分析等核心数学素养.

3. 高考预测：

（1）考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列、随机变量的均值、方差；

（2）考查简单离散型随机变量的均值、方差，在解决简单的实际问题中的应用.

（3）离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，前几年以解答题为主，常与排列、组合、概率等

知识综合命题．最近几年考查离散型随机变量的均值、方差的性质及计算，以小题为主．

4.备考重点：

(1) 掌握离散型随机变量的均值、方差的概念及其性质；

(2) 掌握简单离散型随机变量的均值、方差及其应用的计算方法.

【知识清单】

知识点 1. 离散型随机变量的均值与方差

1．均值

若离散型随机变量

的分布列为

…

称

 

1 1 2 2 i i n n

E X x p x p x p x p      

为随机变量

的均值或数学期望，它反映了离散型随机变

量取值的平均水平．．

若

Y aX b 

，其中

,a b

为常数，则

也是随机变量，且

   

E aX b aE X b  

若

服从两点分布，则

 

E X p

；

2.方差

若离散型随机变量

的分布列为

…

则

 

x E X

描述了

(

1, 2, ,i n

)相对于均值

 

E X

的偏离程度，而

   

 

i i

D X x E X p



 



为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量

与其均值

 

E X

的平均偏离程度．称

 

D X

为随机变量

的方差，其算术平方根

 

D X

为随机变量

的标准差．

若

Y aX b 

，其中

,a b

为常数，则

也是随机变量，且

   

D aX b a D X 

．

若

服从两点分布，则

   

1D X p p 

．

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3. 六条性质

(1)

 

E C C

(

为常数)

(2)

   

E aX b aE X b  

(

,a b

为常数)

(3)

     

1 2 1 2

E X X E X E X  

(4)如果

1 2

,X X

相互独立，则

     

1 2 1 2

E X X E X E X  

(5)

 

D X E X E X 

(6)

   

D aX b a D X 

【典例剖析】

高频考点一：离散型随机变量的均值

【典例 1】（2020·鸡泽县第一中学高二开学考试）某射手射击所得环数



的分布列如下：已知



的数学

期望

( ) 8.9E





，则

的值为（）



7 8 9 10

0.1 0.3

A．0.8 B．0.6

C．0.4 D．0.2

【答案】C

【解析】

由表格可知：

0.1 0.3 1

7 8 0.1 9 0.3 10 8.9

x y

   



      



，

解得

0.4y

故选：

．

【典例 2】（2017 山东，理 18）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，

具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，

通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者

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A1，A2，A3，A4，A5，A6和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受

乙种心理暗示.

（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含

的频率.

（II）用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与数学期望 EX.

【答案】（I）

(II)X 的分布列为

X 0 1 2 3 4

X 的数学期望是

2EX 

【解析】

因此 X 的分布列为

X 0 1 2 3 4

X 的数学期望是

0 ( 0) 1 ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3) 4 ( 4)EX P X P X P X P X P X              

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