专题11.5 离散型随机变量的分布列 2021年新高考数学一轮复习讲练测（讲）原卷版

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专题 11.5 离散型随机变量的分布列
【考纲解读与核心素养】
1. 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，理解两点分布，理解 n 次独立重复试验的模型及
二项分布，并能进行简单的应用.
2．培养学生的数学运算、逻辑推理、数据分析等核心数学素养.
3. 高考预测：
（1）考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质；
（2）考查两点分布、n 次独立重复试验的模型及其应用.
（3）离散型随机变量的分布列及其概率分布是高考命题的热点，与离散型随机变量的数字特征结合命题
是主要命题方式．
4.备考重点：
(1) 掌握取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质；
(2) 掌握两点分布、n 次独立重复试验的模型及其应用计算方法.
【知识清单】
知识点 1. 离散型随机变量及其分布列
1．离散型随机变量的分布列
(1)随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母
X
，
Y
，
ξ
，
η
等表示．
(2)离散型随机变 量
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
随机变量的线性关系：若
是随 机变量，
a b
 
 
，其中
,a b
是常数，则
也是随机变量.
2. 分布列的两个性质
①
0
i
p
，
1, 2, ,i n
；②
1 2 1
n
p p p  
.
3．分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为 1可求参数的值．
(2)随机变量 ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
知识点 2. 常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：
若随机变量
X
服从两点分布，即其分布列为
X
0 1
1p
p
其中
0 1p 
，则称离散型随机变量
X
服从参数为
的两点分布．其中
 
1p P X 
称为成功概率．
(2)超几何分布：
在含有
M
件次品的
N
件产品中，任取
n
件，其中恰有
X
件次品，则事件{
X k
}发生的概率为
2 / 7
 
k n k
M N M
n
N
C C
P X k C
 
，
0,1, 2, ,k m
，其中
 
min ,m M n
，且
, , , ,n N M N n M N N
 
，称
分布列为超几何分布列.
X
0 1 …
m
0 0n
M N M
n
N
C C
C
1 1n
M N M
n
N
C C
C
…
m n m
M N M
n
N
C C
C
(3)设离散型随机变量
X
可能取得值为
1
x
，
2
x
，…，
i
x
，…
n
x
，
X
取每一个值
(
1, 2, ,i n
)的概率
为
 
i i
P X x p 
，则称表
X
2
x
…
…
n
x
P
1
p
2
p
…
i
p
…
n
p
为 随 机 变 量
X
的 概 率 分 布 列 ， 简 称
X
的 分 布 列 ． 有 时 为 了 表 达 简 单 ， 也 用 等 式
 
i i
P X x p 
，
1, 2, ,i n
表示
X
的分布列．
【典例剖析】
高频考点一 ： 离散型随机变量分布列的性质
【典例 1】（2020·陕西高二期末（理））离散型随机变量
X
的分布列为下表，则常数
C
的值为（ ）
X
0 1
P
2
9C C
3 8C
A．
2
3
B．
1
3
C．
或
1
3
D．以上都不对
【典例 2】（2020·山西应县一中高二期中（理））设随机变量
X
的概率分布列为则
 
3 1P X  
（
）
X
1 2 3 4
P
1
3
m
1
6
3 / 7
A．
7
12
B．
1
6
C．
D．
5
12
【典例 3】（2020·防城港市防城中学高二期中（理））袋中装有一些大小相同的球，其中标号为
1
号的球
1
个，标号为
2
号的球
2
个，标号为
3
号的球
3
个，
，标号为
n
号的球
n
个．现从袋中任取一球，所得号
数为随机变量
X
，若
 
0.2P X n 
，则
n
______．
【规律方法】
离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为 1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的
概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
【变式探究】
1.（2019·吉林高二期末（理））随机变量
X
的分布列如下表，其中
a
，
b
，
c
成等差数列，且
1
2
c ab
，
X
246
P
a
b
c
则
 
2P X  
（ ）
A．
B．
C．
1
4
D．
2
21
2.（2020·广东高二期末）设随机变量 X的分布列为 P(X=
4
k
)=ak(k=1，2，3，4)，a为常数，则（ ）
A．a=
1
5
B．P(X>
1
2
)=
7
10
C．P(X<4a)=
1
5
D．E(X)=
1
2
3.（2019·吉林高二期中（理））设随机变量
X
的分布列
( ) 2
i
k
P X i 
( 1, 2,3)i
,则
( 2)P X  
____
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