专题6.1 不等关系与不等式（原卷版）

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第六篇不等式、推理与证明

专题 6.1 不等关系与不等式

【考纲要求】

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．

2.了解不等式(组)的实际背景．

3.掌握不等式的性质及应用.

【命题趋势】

利用作差、作商法比较大小，利用不等式的性质判断关于不等式的命题的真假.

【核心素养】

本讲内容主要考查逻辑推理、数学运算的核心素养..

【素养清单•基础知识】

1．两个实数比较大小的方法

(1)作差法

(2)作商法

2．不等式的基本性质

性质性质内容特别提醒

对称性 a＞b⇔b＜a⇔

传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c⇒

可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c⇔

可乘性

⇒ac＞bc 注意 c

的符号

⇒ac＜bc

同向可加性 ⇒a＋c＞b＋d⇒

同向同正

可乘性

⇒ac＞bd＞0⇒

可乘方性 a＞b＞0⇒an＞bn

(n∈N，n≥1) a，b同

为正数

可开方性 a＞b＞0⇒　＞　

(n∈N，n≥2)

3.不等式的一些常用性质

(1)倒数的性质

①a＞b，ab＞0⇒＜；

②a＜0＜b⇒＜；

③a＞b＞0，d>c>0⇒＞；

④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜.

(2)有关分数的性质

若a＞b＞0，m＞0，则：

①＜，＞(b－m＞0)；

②＞，＜(b－m＞0)．

【真题体验】

1.【2019 年高考全国 II 卷理数】若 a>b，则（）

A．ln(a−b)>0 B．3a<3b

C．a3−b3>0 D．│a│>│b│

2.【2019 年高考全国 I卷理数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之

比是（ ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的

头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为

105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是（）

A．165 cm B．175 cm

C．185 cm D．190 cm

3.【2018 年高考全国 III 卷理数】设，，则（）

A． B．

C． D．

4.【2017 年高考山东卷理数】若，且，则下列不等式成立的是（）

A． B．

C． D．

【2017 年高考北京卷理数】能够说明“设 a，b，c是任意实数．若 a＞b＞c，则 a+b＞c”是假命题的一组整

数a，b，c的值依次为___________.

【考法解码•题型拓展】

考法一　　比较两个数(式)的大小

解题技巧：比较大小的常用方法

(1)作差法：其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论．用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常

采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法．

(2)作商法：即判断商与 1的关系，得出结论．要特别注意当商与 1的大小确定后必须对商式分子分母的正

负进行判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．

(3)单调性法：利用有关函数的单调性比较大小．

(4)特殊值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特殊值验证法比较大小．

【例 1】 (1)已知 a1，a2∈(0,1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M与N的大小关系是(　　)

A．M＜N B．M＞N

C．M＝N D．不确定

(2)对于 0＜a＜1，给出下列四个不等式：

①loga(1＋a)＜loga；

②loga(1＋a)＞loga；

③a1＋a＜a1＋；

④a1＋a＞a1＋.

其中成立的是(　　)

A．①③ B．①④

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