专题06 数列与数学归纳法【原卷版】2021届浙江省优质数学试卷分项解析02

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专题 6.数列与数学归纳法
数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列
基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度
中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳
定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题
综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等
式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．关于数学归纳法的考查，主要与数列、不等式相结合.
预测 2021 年将保持稳定，主观题将与不等式、函数、数学归纳法等相结合.
1．（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{
an
}的前
n
项和
Sn
，公差
d
≠0， ．记
b
1=
S
2，
bn+
1=
S2n+
2–
S
2
n
， ，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2
a
4=
a
2+
a
6B．2
b
4=
b
2+
b
6C． D．
2．（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列
就是二阶等差数列，数列 的前 3 项和是________．
3．（2020·浙江省高考真题）已知数列{
an
}，{
bn
}，{
cn
}中，
．
（Ⅰ）若数列{
bn
}为等比数列，且公比 ，且 ，求
q
与{
an
}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{
bn
}为等差数列，且公差 ，证明： ．
1
4．（2020·天津高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
5．（2020·山东省高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．
一、单选题
1．（2020·浙江省桐庐分水高级中学高三期中）数列
 
n
a
满足
1
19
2 1 10
2 11 19
n
nn
n
an
 
 
，
，
，则该数列从第 5项
到第 15 项的和为（ ）
A．2016 B．1528 C．1504 D．992
2．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知等比数列
{ }
n
a
的前
n
项和为
n
S
，若
1 2 3
1 1 1 2
a a a
 
，
，则
3
S
（ ）
A．8 B．7 C．6 D．4
3．（2020·浙江高三期中）在数列
 
n
a
中，
12a
，对任意的
,m n N
，
m n m n
a a a
 
，若
2
1 2
62
n
a a a   
，则
n
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2020·浙江杭州市·高一期末）设公差为 d的等差数列
 
n
a
的前 n项和
n
S
，若
4 2
2 8S S 
，则
d
（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2019·浙江高二学业考试）已知数列是
 
n
a
是正项等比数列，且
3 7
2 3 6
a a
 
，则
5
a
的值不可能是
（）
A．
2
B．
4
C．
8
5
D．
8
3
6．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知等差数列
 
n
a
的公差
d
为正数，
 
1 1
1, 2 1 1 ,
n n n
a a a tn a t
 
为常数，则
n
a
（ ）
A．
2 1n
B．
4 3n
C．
5 4n
D．
n
7．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知数列
{ }
n
a
满足
0
0a
，
 
11
i i
a a i
N
，则
20
1
k
k
a
的值不可能
是（ ）
A．2 B．4 C．10 D．14
8．（2020·浙江宁波市·高三期中）公元 1202 年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为
例，引入“兔子数列”
 
n
a
：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即
，
2
1a
，
 
*
1 2 , 2
n n n
a a a n n
 
  N
，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用。若将此数列
 
n
a
的各项除以2后的余数构成一个新数列
 
n
b
，设数列
 
n
b
的前
n
项的和为
n
T
；若数列
 
n
a
满足：
3
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