专题5.5 等差、等比数列综合应用（解析版）

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第五篇数列及其应用

专题 5.5 等差、等比数列综合应用

【考纲要求】

1. 熟练掌握等差、等比数列的前 n项和公式．

2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.

【命题趋势】

利用公式求数列的前 n项和，利用常见求和模型求数列的前 n项和.

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．公式法与分组法

(1)公式法

直接利用等差数列、等比数列的前 n项和公式求和．

① 等差数列的前 n项和公式

Sn＝＝na1＋d　.

② 等比数列的前 n项和公式

Sn＝

(2)分组法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组法分别求和后相加减．

2．倒序相加法与并项求和法

(1)倒序相加法

如果一个数列{an}的前 n项中与首末两端等“距离”的两项的和等于首末两项的和，那么求这个数列的前 n

项和可用倒序相加法，如等差数列的前 n项和公式即是用此法推导的．

(2)并项求和法

在一个数列的前 n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．

形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)

＋…＋(2＋1)＝5 050.

3．裂项相消法

(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

(2)常见的裂项技巧

①＝－；

②＝；

③＝；

④＝－.

4．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n项和即

可用此法来求，如等比数列的前 n项和公式就是用此法推导的

【真题体验】

1.【2019 年高考全国 II 卷理数】已知数列{an}和{bn}满足 a1=1，b1=0，，

（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；

（2）求{an}和{bn}的通项公式.

【答案】（1）见解析；（2）， .

【解析】（1）由题设得，即．

又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．

由题设得，即．

又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）由（1）知，，．

所以，

．

【名师点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差

数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中

档题.

2.【2019 年高考浙江卷】设等差数列的前 n项和为，，，数列满足：对每个

成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记证明：

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】（1）设数列的公差为d，由题意得

，

解得．

从而．

所以，

由成等比数列得

．

解得．

所以．

（2）．

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