专题5.3 等比数列及其前n项和（原卷版）

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第五篇 数列及其应用
专题 5.3 等比数列及其前 n项和
【考纲要求】
1.理解等比数列的概念．
2.掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．
4.了解等比数列与指数函数的关系.
【命题趋势】
1.利用公式求等比数列指定项、前 n项和；利用定义、通项公式证明数列为等比数列．
2.利用等比数列性质求等比数列指定项、公比、前 n项和.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算、逻辑推理的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫
做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示，定义的表达式为＝q.
(2)等比中项：如果 a，G，b成等比数列，那么 G叫做 a与b的等比中项．即 G是a与b的等比中项
⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：Sn＝
3．等比数列与指数型函数的关系
当q>0 且q≠1 时，an＝·qn可以看成函数 y＝cqx，其是一个不为 0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各
项所对应的点都在函数 y＝cqx的图象上；
对于非常数列的等比数列{an}的前 n项和 Sn＝＝－qn＋，若设 a＝，则 Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1)．由此
可知，数列{Sn}的图象是函数 y＝－aqx＋a图象上一系列孤立的点．
对于常数列的等比数列，即 q＝1时，因为 a1≠0，所以 Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数 y＝a1x图
象上一系列孤立的点．
【素养清单•常用结论】
设数列{an}是等比数列，Sn是其前 n项和．
1
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq；若 2s＝p＋r，则 apar＝a，其中 m，n，p，q，s，r∈N*.
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 qm(k，m∈N*)．
(4)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列．
(5)若数列{an}的项数为 2n，则＝q；若项数为 2n＋1，则＝q.
【真题体验】
1.
【2019 年高考全国 III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列 的前 4项和为 15，且 ，则
（ ）
A．16 B．8
C．4 D．2
2.
【2019 年高考全国 I卷理数】记 Sn为等比数列{an}的前 n项和．若 ，则 S5=___________．
3.【2018 年高考浙江卷】已知 成等比数列，且 ．若 ，则（
）
A．B．
C．D．
4.
【2017 年高考全国 II 卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点
倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下
一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏B．3盏
C．5盏D．9盏
5．【2017 年高考全国 III 卷理数】等差数列 的首项为 1，公差不为 0．若 a2，a3，a6成等比数列，则
前6项的和为（ ）
A． B．
C．3 D．8
2
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