专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式（讲）（解析版）

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专题 5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

【考纲解读与核心素养】

1. 理解同角三角函数的基本关系.

2. 掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.

3．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.

4.高考预测：

（1）公式的应用.

（2）高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查方式以小题或在大题中应用为主．

5.备考重点：

（1）掌握诱导公式，注意灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系；

（2）掌握同角三角函数基本关系式，注意同角的三个函数值中

sin ,cos , tan

  

知一求二.

【知识清单】

知识点 1．同角三角函数的基本关系式

1.同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．

(2)商数关系：tan α＝.

2.对同角三角函数基本关系式的理解

注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前

提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如 sin23α＋cos23α＝1成立，但是 sin2α＋cos2β＝1就不一定成

立．

3．常用的等价变形

sin2α＋cos2α＝1⇒

tanα＝⇒

知识点 2．三角函数诱导公式

六组诱导公式

　角

函数　 2kπ＋α(k∈Z) π＋α－απ－α－α＋α

正弦 sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α

余弦 cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α

正切 tan_αtan_α－tan_α－tan_α

对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当 k为

奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在 α的三角函

数值前面加上当 α为锐角时，原函数值的符号”

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知识点 3．特殊角的三角函数值（熟记）

角α

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

角α的

弧度数

sin α

cos α

tan α

【典例剖析】

高频考点一同角三角函数的基本关系式

【典例 1】【多选题】若

sin 5



，且



为锐角，则下列选项中正确的有（）

A．

tan 3





B．

cos 5





C．

cos 5

sin

 

 

D．

cos 5

sin

 

  

【答案】AB

【解析】

sin 5





，且



为锐角，

2 2

4 3

cos 1 1 ( )

5 5

sin

 

     

，故

正确，

sin 4

tan 3

cos 3





   

，故

正确，

3 / 13

4 3 7 8

sin cos 5 5 5 5

 

     

，故

错误，

4 3 1 1

sin cos 5 5 5 5

 

      

，故

错误.

故选：

【典例 2】（2020·金华市江南中学高一月考）已知

sin cos

x x





=2，则 tanx=____，sinxcosx=____.

【答案】3

【解析】

【分析】

将

sin cos

x x





=2 左端分子分母同除以

cos x

，得

tan 1 2

tan 1





，解得

tan 3x

，

2 2 2 2

sin cos tan 3 3

sin cos sin cos tan 1 3 1 10

x x x

x x x x x

   

  

故答案为：

；

【规律方法】

1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法”

(1)利用 sin2

＋cos2

＝1 可实现

的正弦、余弦的互化，注意

 

2 2

1 2 4

sin cos sin cos sin cos tan



     

     

等；

(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求

平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．

2. 利用＝tan

可以实现角

的弦切互化．

（1）若已知 tanα＝m，求形如(或)的值，其方法是将分子、分母同除以 cosα(或cos2α)转化为 tanα的代数式，

再求值，如果先求出 sinα和cosα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．

（2）形如 asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cos2α代换，分子、分母同除以

cos2α再求解．

【变式探究】

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