专题05 推理与证明（知识梳理）（人教A版选修2-2）（解析版）

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专题 05 推理与证明（知识梳理）
一、推理
1、合情推理：当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理。
数学中常见的合情推理有：归纳推理和类比推理。
(1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别
事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理 (简称归纳)。
简言之归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其基本模式： 、 、 ，且 、 、
具有某属性；结论： ， 也具有某属性。
(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
称为类比推理 (简称类比)。
简言之类比推理是由特殊到特殊的推理，其基本模式： 具有属性 、 、 、 ； 具有属性 、
、 ；结论： 具有属性 。(、 、 、 与 、 、 、 相似或相同)
2、演绎推理：演绎推理是根据已有的事实的正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则
得到新结论的推理过程。
(1)演绎推理的特点：①演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事
实，结论完全蕴涵于前提之中。②在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，
推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。③演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性。
但具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。
(2)演绎推理的一般模式— “三段论”：①大前提—已知的一般性的原理；②小前提—所研究的特殊情况；
③结论—根据一般原理，对特殊情况做出的判断。
“三段”论可以表示为①大前提： 是 ；②小前提： 是 ；③结论： 是 。
用集合说明：若集合 的所有元素都具有性质 ， 是 的一个子集，那么 中所有元素也都具有
性质 。
3、方法总结
(1)合情推理主要包括归纳推理和类比推理：
在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论。证明一个数学结论之前，合
情推理常常能为证明提供思路与方向。
(2)合情推理的过程：
→→→
(3)演绎推理
演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常
用的一般模式是三段论。数学问题的证明主要通过演绎推理来进行。
(4)注意归纳和类比的结论的可靠性有待于证明。
例1-1．下面几种推理是合情推理的是( )。
① 由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 ，
归纳出所有三角形的内角和都是 ；③某次考试张军成绩是 分，由此推出全班同学成绩都是
分；④三角形的内角和是 ，四边形的内角和是 ，五边形的内角和是 ，由此得出凸多边形
的内角和是 。
A、①②
1
B、①③
C、①②④
D、②④
【答案】C
【解析】①是类比推理，②④是归纳推理，③不是合情推理，故选 C。
例1-2．观察 、 、 ，由归纳推理可得：若定义在 上的函数
满足 ，记 为 的导函数，则 ( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴，故选 D。
例1-3 ．设的 三 边 长分 别 为 、 、 ， 的 面 积为 ， 内 切圆半 径 为 ， 则
。类比这个结论可知：四面体 的四个面的面积分别为 、 、 、 ，内切
球的半径为 ，四面体 的体积为 ，则 ( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】设三棱锥的内切球球心为 ，由 ，
即： ，可得： ，故选 C。
例1-4．观察右图，则第( )行的各数之和等于 。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】由图知，第一行各数和为 ，第二行各数和为 ，
2
第三行各数和为 ，第四行各数和为 ，…，
故第行各数和为 ，令 ，解得 ，故选 A。
例1-5．若 是线段 上一点，则有 。将它类比到平面的情形是：若 是
内一点，则有 。将它类比到空间的情形应该是：若 是
四面体 内一点，则有 。
【答案】
【解析】 。
例1-6．观察下列三角形数表，假设第 行的第二个数为 (，)，依次写出第六行的所有
数字： ； 。（本小题第一个空2分，第二个空3分）
【答案】 ， ， ， ， ，
【解析】第六行的所有数字依次是 ， ， ， ， ， ；
依题意 ( )， ，
，
∴( )。
例1-7．已知 ， ， ，……。
(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是 ；
(2)若在数列中， ， ， ，……，且前
项和 ，则 。
【答案】 ， ，
【解析】本题从等式的左边来看余弦的个数从 逐个增加，分子从 开始也是逐个增加，
分母分别是 、 、 、……，由此可以看出等式左边各项的通项公式为 ，
等式的右边是通项为 的等比数列，
由以上分析可以猜想出结论为： ， ，
3
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