新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第6讲　高效演练分层突破(3)

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[基础题组练]
1．(2019·高考北京卷)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率是，则 a＝(　　)
A． 　　　　　　　 B．4
C．2 D．
解析：选D．由双曲线方程－y2＝1，
得b2＝1，
所以 c2＝a2＋1.
所以 5＝e2＝＝＝1＋.
结合 a＞0，解得 a＝.
故选 D．
2．若双曲线 C1：－＝1与C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线 C2的焦距
为4，则 b＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B．由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距 2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选 B．
3．设双曲线 x2－＝1的两个焦点为 F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝
3∶4，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．10 B．8
C．8 D．16
解析：选C．依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝
6，|PF2|＝8，所以等腰三角形 PF1F2的面积 S＝×8× ＝8.
4．(2020·长春市质量 监测 (一))已知双曲线－＝ 1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为
A，B，点 P为双曲线上除 A，B外任意一点，且点 P与点 A，B连线的斜率分别为 k1，k2，
若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：选C．设点 P(x，y)，由题意知 k1·k2＝·＝＝＝＝3，所以其渐近线方程为 y＝
±x，故选 C．
5．(多选)(2021·预测)已知 F1，F2分别是双曲线 C：y2－x2＝1的上、下焦点，点 P是其
中一条渐近线上的一点，且以线段 F1F2为直径的圆经过点 P，则(　　)
A．双曲线 C的渐近线方程为 y＝±x
B．以 F1F2为直径的圆的方程为 x2＋y2＝1
C．点 P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为
1
解析：选ACD．等轴双曲线 C：y2－x2＝1的渐近线方程为 y＝±x，故A正确；由双曲
线的方程可知|F1F2|＝2，所以以 F1F2为直径的圆的方程为 x2＋y2＝2，故B错误 ；点
P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝2上，不妨设点 P(x0，y0)在直线 y＝x上，所以解得|x0|＝1，则点 P的
横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得 △PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确．故选
ACD．
6．(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2－＝1(b＞0)经过点
(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．
解析：因为双曲线 x2－＝1(b＞0)经过点(3，4)，所以 9－＝1(b＞0)，解得 b＝，即双曲
线方程为 x2－＝1，其渐近线方程为 y＝±x.
答案：y＝±x
7．(2020·云南昆明诊断测试改编)已知点 P(1，)在双曲线 C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近
线上，F为双曲线 C的右焦点，O为原点．若∠FPO＝90°，则双曲线 C的方程为________，
其离心率为________．
解析：因为双曲线 C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝±x，点P(1，)在渐近线
上，所以＝.在Rt△OPF 中，|OP|＝＝2，∠FOP＝60°，所以|OF|＝c＝4.又c2＝a2＋b2，所以
b＝2，a＝2，所以双曲线 C的方程为－＝1，离心率 e＝＝2.
答案：－＝1　2
8.如图，F1，F2是双曲线 C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，若直线 y＝x与双
曲线 C交于 P，Q两点，且四边形 PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线 y＝x代入双曲线 C方程，可得 x＝
±，所以·＝c，所以 2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以 e4－4e2＋2＝0.因为 e＞
1，所以 e2＝2＋，所以 e＝.
答案：
9．已知椭圆 D：＋＝1与圆 M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线 G与椭圆 D有相同焦点，它的
两条渐近线恰好与圆 M相切，求双曲线 G的方程．
解：椭圆 D的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，
因而双曲线中心在原点，焦点在 x轴上，且c＝5.
设双曲线 G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
所以渐近线方程为 bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心 M(0，5)到两条渐近线的距离为 3.
所以＝3，得a＝3，b＝4，
2
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