高中数学天津市南开区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷（解析版）

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2020-2021 学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题 3分，共 9小题）.
1．某中学有高一学生 400 人，高二学生 300 人，高三学生 500 人，现用分层抽样的方法在
这三个年级中抽取 120 人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为（　　）
A．40 B．48 C．50 D．80
2．某校在“创新素质实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了
评比，下面是将某年级 60 篇学生调查报告进行整理，分成 5组画出的频率分布直方图
（如图）．已知从左至右 4个小组的频率分别为 0.05，0.15，0.35，0.30，那么在这次评
比中被评为优秀的调查报告有（　　）（分数大于或等于 80 分为优秀且分数为整数）
A．18 篇B．24 篇C．25 篇D．27 篇
3．设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
（　　）
A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2
4．设点 A（﹣1，2），B（2，3），C（3，﹣1），且 ，则点 D的坐标为（
）
A．（2，16）B．（﹣2，﹣16）C．（4，16）D．（2，0）
5．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
6．在△ABC 中，已知 D是AB 边上的一点，若 ＝2， ＝ +λ， 则 λ＝
（　　）
1
A．B．C．D．
7．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（　　）
A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥AB
C．AC1与DC 成45°角D．A1C1与B1C成60°角
8．已知 i为虚数单位，a∈R，若 为纯虚数，则复数 z＝（2a+1）+i的模为（　　）
A．B．C．D．
9．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试，得
分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为 me，众数为 m0，平均值为 ，则（　　）
A．B．C．me＜m0D．me＝m0
10．如图所示，等边三角形 ABC 的边长为 4，D为BC 的中点，沿 AD 把△ADC 折叠到
△ADC'处，使二面角 B﹣AD﹣C'为60°，则 折叠后二面角 A﹣BC'﹣D的正切值为（
　）
A．B．C．2 D．
二、填空题（共 5个小题，每小题 3分，共 15 分）．
2
11．i是虚数单位，则 的共轭复数是 　
　 ．
12．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有 40 人，乙班 50 人．现分析两个班
的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是 90 分，乙班的平均成绩是 81 分，则该校数学
建模兴趣班的平均成绩是　
　 分．
13．一个几何体是由一个圆锥和一个半球组成的（相关尺寸如图），则该几何体的体积为
．
14．口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为 1，2，3，4，5，若从中一次随
机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于 6的概率为　
　 ．
15．某人在点 C测得塔顶 A在南偏西 80°，仰角为 45°，此人沿南偏东 40°方向前进 100 米
到点 D处，测得塔顶 A的仰角为 30°，则塔高为 　
　 米．
三、解答题：本大题共 5个小题，该 55 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．已知复数 z1＝﹣2+i，z1z2＝﹣5+5i（其中 i为虚数单位）
（1）求复数 z2；
（2）若复数 z3＝（3﹣z2）[（m2﹣2m﹣3）+（m﹣1）i]所对应的点在第四象限，求实数
m的取值范围．
17．已知 ， 的夹角为 60°，，，当实数 k为何值
时，
（1）
（2） ．
18．在△ABC 中，角 A，B，C对的边分别为 a，b，c，且 c＝2，C＝60°．
（1）求 的值；
（2）若 a+b＝ab，求△ABC 的面积 S△ABC．
19．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假
3
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