高二数学专题06 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系（重难点突破）解析版

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专题 06 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

知识点一直线与圆的位置关

(1)三种位置关系：相交、相切、相离．

(2)圆的切线方程的常用结论

①过圆 x2＋y2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2；

②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；

③过圆 x2＋y2＝r2外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2.

知识点二圆与圆的位置关系

设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).

　方法

位置关系　

几何法：圆心距 d与r1，r2的关系

代数法：两圆方程联立组成方程

组的解的情况

外离 d>r1＋r2无解

外切 d＝r1＋r2一组实数解

相交 |r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解

内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解

内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解

【知识必备】

1．圆的切线方程常用结论

(1)过圆 x2＋y2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(3)过圆 x2＋y2＝r2外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2.

2．圆系方程

(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中 a，b是定值，r是参数；

(2)过直线 Ax＋By＋C＝0与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By

＋C)＝0(λ∈R)；

(3)过圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x

＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆 C2，解题时，注意检验圆 C2是否满足题意，

以防漏解)。

三、重难点题型突破

重难点突破 01 直线与圆的位置关系

例1．（1）（2020·全国高二课时练习）直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 的位置关系为（）

A．相切 B．相交但直线不过圆心

C．直线过圆心 D．相离

【答案】B

【解析】由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径 r=1，则圆心（0，0）到直线 y=x+1 的距离 d=

=＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与

圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选 B

（2）（2020 山东泰安实验中学高二期中）直线与圆相切，则实数

等于（）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】C

【解析】圆的方程即为（，圆心到直线的距离等于半径

或者，故选 C．

【变式训练 1】．（2020·江西赣州三中高二期中）已知圆，直线

．

（1）判断直线与圆 C的位置关系；

（2）设直线与圆 C交于 A，B两点，若直线的倾斜角为 120°，求弦 AB 的长．

【解析】 (1)直线 l可变形为 y－1＝m(x－1)，

因此直线 l过定点 D(1，1)，又＝1< ，

所以点 D在圆 C内，则直线 l与圆 C必相交．

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