高二数学专题05 圆的标准方程与一般方程（课时训练）解析版

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专题 05 圆的标准方程与一般方程课时训练

【基础巩固】

1．（福建省宁德一中 2019 届质检）若圆 C与y轴相切于点 P(0,1)，与 x轴的正半轴交于 A，B两点，且|

AB|＝2，则圆 C的标准方程是(　　)

A．(x＋)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋)2＝2

C．(x－)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－)2＝2

【答案】C　

【解析】设线段 AB 的中点为 D，则|AD|＝|CD|＝1，∴r＝|AC|＝＝|CP|，故 C(，1)，故圆 C的标准方程是(x

－)2＋(y－1)2＝2，故选 C.

2.（陕西工业大学附中 2019 届模拟）已知点 A(2，－1，－3)，点 A关于 x轴的对称点为点 B，则|AB|的值为

(　　)

A．4 B．6 C. D．2

【答案】D　

【解析】由题意可知点 A关于 x轴的对称点 B的坐标为(2,1,3)，所以|AB|＝＝2.故选 D.

3．（2020 江西赣州三中高二月考）若直线 y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞

0)的圆心位于(　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】因为直线 y＝ax＋b通过第一、二、四象限，所以，因为圆心，所以圆心位于第

二象限，选 B.

4．（2020 全国高二课时练）已知半径为 1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【解析】设圆心，则，化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故

选：A.

5.（多选题）（2020·山东临朐高二月考）实数，满足，则下列关于的判断正确

的是（）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】CD

【解析】由题意可得方程为圆心是，半径为 1的圆，由为圆上的点与定点

的斜率的值，设过点的直线为，即，

圆心到到直线的距离，即，整理可得解得，

所以，即的最大值为，最小值为。故选： .

6．（2020 浙江丽水高二期末）“ ”是“ 为圆方程”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】方程表示圆需满足或

，所以“ ”是“ 为圆方程”的充分不必要条件，故选：A.

7.（云南昆明第三中学 2019 届模拟）已知圆 x2＋y2＝4上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的

动点．

(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程．

【解析】(1)设AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知点 P坐标为(2x－2,2y)．

因为点 P在圆 x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2 ＝4.故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)设PQ 的中点为 N(x，y)．在 Rt△PBQ 中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接 ON，则 ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以 x2＋y2＋(x－1)2＋(y

－1)2＝4.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2＋y2－x－y－1＝0.

8.（湖北武汉二中 2019 届模拟）根据下列条件，求圆的方程．

(1)经过点 A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线 2x－y－3＝0上；

(2)经过 P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在 x轴上截得的弦长等于 6.

【解析】(1)由题意知 kAB＝2，AB 中点为(4,0)，设圆心 C(a，b)．

因为圆过 A(5,2)，B(3，－2)两点，所以圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上，

则解得所以 C(2,1)，

所以 r＝|CA|＝＝，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.

(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

将P，Q两点的坐标分别代入得

又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.　　③

设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得 D2－4F＝36，　　④

由①②④解得 D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.

故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.

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