高二年级数学精品课程（人教A版2019）第二十六讲 圆锥曲线的综合应用（解析版）

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第二十六讲 圆锥曲线的综合应用
【考点剖析】
1.求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
2.定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为 y＝kx＋b，然后利用条件建立 b，k等量关系进行消
元，借助于直线系的思想找出定点.
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
3.求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的
范围，要特别注意变量的取值范围.
4.圆锥曲线中常见最值的解题方法
(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求
这个函数的最值，最值常用均值不等式法、配方法及导数法求解.
5.圆锥曲线的弦长
设斜率为 k(k≠0)的直线 l与圆锥曲线 C相交于 A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·|y1－y2|＝·.
【考点剖析】
考点一　最值问题　
角度 1　利用几何性质求最值
【例 1－1】 设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上
的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　)
A.9，12 B.8，11
C.8，12 D.10，12
1
解析　如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知 |PA|＋|
PB|＝2a＝10，连接 PA，PB 分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|
－2R＝8；连接 PA，PB 并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|
PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为 8，12.
答案　C
角度 2　利用均值不等式或二次函数求最值
【例 1－2】 (2019·郑州二模)已知动圆 E经过点 F(1，0)，且和直线 l：x＝－1相切.
(1)求该动圆圆心 E的轨迹 G的方程；
(2)已知点 A(3，0)，若斜率为 1的直线 l′与线段 OA 相交(不经过坐标原点 O和点 A)，且与曲线
G交于 B，C两点，求△ABC 面积的最大值.
解　(1)由题意可知点 E到点 F的距离等于点 E到直线 l的距离，∴动点 E的轨迹是以 F(1，0)
为焦点，直线 x＝－1为准线的抛物线，故轨迹 G的方程是 y2＝4x.
(2)设直线 l′的方程为 y＝x＋m，其中－3<m<0，C(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得方程组
消去 y，得 x2＋(2m－4)x＋m2＝0，
Δ＝(2m－4)2－4m2＝16(1－m)>0 恒成立.
由根与系数的关系得
x1＋x2＝4－2m，x1·x2＝m2，∴|CB|＝4，
点A到直线 l′的距离 d＝，
∴S△ABC＝×4×＝2×(3＋m)，
令＝t，t∈(1，2)，则 m＝1－t2，
∴S△ABC＝2t(4－t2)＝8t－2t3，
令f(t)＝8t－2t3，∴f′(t)＝8－6t2，
2
令f′(t)＝0，得 t＝(负值舍去).
易知 y＝f(t)在上单调递增，在上单调递减.
∴y＝f(t)在t＝，即 m＝－时取得最大值为.
∴△ABC 面积的最大值为.
规律方法　圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一
是几何方法，即通过利用 圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求
解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，
然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
考点二　范围问题
【例 2】 如图，已知点 P是y轴左侧(不含 y轴)一点，抛物线 C：y2＝4x上存在不同的两点
A，B满足 PA，PB 的中点均在 C上.
(1)设AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y轴；
(2)若P是半椭圆 x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围.
(1)证明　设P(x0，y0)，A，B.
因为 PA，PB 的中点在抛物线上，所以 y1，y2为方程＝4·，
即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根.
所以 y1＋y2＝2y0，因此，PM 垂直于 y轴.
(2)解　由(1)可知
所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，
|y1－y2|＝2.
因此，△PAB 的面积 S△PAB＝|PM|·|y1－y2|
3
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